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1、线性代数课程考试信息,考试时间：2014年1月16日， 8：3011：00 考试地点：A 107, A203, A 209, A211, A212, A213, 考试答疑：1月日，上午&下午 科技楼南602#,习题-5&6,矩阵相似 二次型,第5章学习要点：,特征值的求法： 定义：数 和向量X0，AX=X. 求特征多项式IA=0的根 已知矩阵A的特征值,则矩阵多项式g(A)的特征值为g(). 如果A满足条件g(A)=0,则A的特征值满足条件g()=0. 特征向量的求法: 定义：使AX=X的非零向量X. 线性方程组(I-A)X=0的非零解.,第5章学习要点：,矩阵的相似关系 矩阵的相似不变性:
2、AB (P-1AP=B),则有 r(A)=r(B) A= B I-A= I-B 矩阵相似对角矩阵的充要条件 n阶方阵有n个线性无关的特征向量 矩阵的t重特征值有t个线性无关的特征向量 n r(iIA)=t 矩阵相似于对角矩阵的求法,第5章学习要点：,n阶方阵 V.S. n阶实对称矩阵 n阶方阵的特征值有可能为复数. n阶实对称矩阵的特征值是实数. n阶方阵对于不同特征值的特征向量线性无关. n阶实对称矩阵对于不同特征值的特征向量正交. n阶方阵不一定相似于对角矩阵. n阶实对称矩阵一定相似而且可以正交相似于对角矩阵.,第6章学习要点：,二次型的矩阵表示 n个变元二次型的矩阵是n阶实对称矩阵.
3、二次型的秩被定义为矩阵的秩. 二次型化为标准形的问题等价于是对称矩阵合同于对角矩阵的问题 矩阵的特征值可导出矩阵的惯性指数 二次型正定当且仅当矩阵是正定矩阵. 实对称矩阵的合同关系: 合同的定义 合同的不变性:秩, 对称性,惯性指数,正定性 矩阵合同的充要条件是惯性指数相同.,第6章学习要点：,二次型化为标准型的方法 行列对称初等变换法: 可将二次型化为标准形,标准形不唯一. 可将二次型化为规范形,规范形是唯一的. 图形的形状会改变. 正交变换法 只能将二次型化为标准形,标准形由矩阵的特征值确定. 图形的形状不改变.,第6章学习要点：,二次型的正定性 n元二次型f=XTAX正定的充要条件 二次
4、型的正惯性指数为n 矩阵的特征值全部大于零. 矩阵A的顺序主子式全部大于零. 矩阵A合同于单位矩阵: PTAP=I 存在一个正定矩阵B, 使得A=B2. 存在可逆矩阵C,使得A=CTC.,判断题,如果AB，则A和B相似于同一个对角矩阵D. 设是矩阵A的特征值，则线性方程组 (2I A2 )X= 0 有非零解. 矩阵A的对应于非零特征值的特征向量是矩阵A的列向量的线性组合. 若对称矩阵A和B的特征值相同，则AB . 设矩阵A0，存在正整数k，使得Ak=0，则矩阵A不可相似对角化。 设矩阵的特征多项式 p()= n+1, 则A是可逆矩阵。,判断题,f=(x1 3x2+4x3 +5x4 2x5) 2
5、是二次型. 如果对称矩阵A的主对角线元素a220, 则A正定 .,填空题与选择题,设矩阵A的特征多项式p()=(1)(3)(4) 3，则矩阵A为 阶矩阵；|A | = 。 设矩阵A=(aij )的特征值是1，2，n， 则 的值等于 （1） （2） （3） （4）,填空题与选择题,3 设矩阵P 1 AP=B，又A的关于特征值的特征向量为X，则B的关于特征值的特征向量是： （ 1） X，（2）PX， （3）P 1 X， （4）PTX 4 设矩阵A满足条件|4I+A |=0， |A |= 1 ，则 伴随矩阵（3A）* 的特征值是 . 设 ，又 则P 1 AP=B，则（2B1 +I） 的特征值是 .
6、6 二次形f（x1, x2 , x 3 ,x 4 ）=(x1+2x2+4x3+ 3x4)2的矩阵为 .,填空题与选择题,7 二次形f（x1, x2 , x 3）=x21+2x1x2 x22的规范形为 . 8 以下矩阵中合同的是 ： (B) (C) (D),4 、 设A是3阶方阵，i 0是3维向量， A1= 1 ， A2= 22， A3= 33则下列等式中正确的是： （A）P=( 1 ， 2 ，3 3)，P1AP= （B）P=（ 2 ， 1 ， 3 ），P1AP= （C）P=（ 1 ， 1+ 2 ， 3）P1AP= （D）P=（ 1 ，2 2 ，3 3）， P1AP=,思考题：设A为3阶矩阵,将
7、A的第2行加到第1行得矩阵B，再将矩阵B的第1列的-1倍加到第2列得C， 记 ，则下列正确的是： （A）C=P 1 AP （B）C=PAP 1 （C）C=P TAP （D）C=PAPT,B,思考题,设A为4阶矩阵，且A2+A=0，若A的秩等于3，则A相似于： （A) （B) （C) （D),D,计算题,1 设矩阵 A= ，求a， b，c满足 的条件，使得A相似于对角形.,2 设 是空间Rn 中的非零向量，T =2，矩阵A= T . 求矩阵的特征值。 证明矩阵可以相似于对角矩阵。 写出和矩阵相似的对角矩阵D。,计算题,计算题,3 设A 为n 阶矩阵，满足A 2 =A， r（A）= r ， 求 A
8、+I 。,4 设1，2，2是3阶对称矩阵A的特征值， 是A特征值1所对应的特征向量， 求矩阵A 求A 1 ， 求Ak,计算题,计算题,5、 A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且 （1）求A的所有特征值与特征向量 （2）求矩阵A,6 设 ， ， P 1 A*P=B， 求矩阵（B+2I）的特征值与特征向量。,计算题5,计算题,7设二次形2y12 +by22y32 是由二次形 f(x1, x2, x3)=2x1 2+2x2 x3+ax32通过正交变换X=QY得到的。 求参数a 和 b。 求正交矩阵Q,计算题,已知二次形 q（x1，x2，x3）=5x1 2+ 5x2 2 +ax32 2x1 x2 +6x
9、1 x3 6x2x3的秩为2， 求参数a 指出q（x1，x2，x3） =1表示何种曲面,证明题,设矩阵A是(nn) 正定矩阵. 证明 | I+A | 1. 2. 设 A=(aij) 是一个(nn) 对称矩阵. 如果主对角线上的元素 aii 0 ， ajj 0, i j, 则 A 是不定的.,证明题3,设A是3阶矩阵，1和2是A的分别属于特征值1，1的特征向量，向量3满足： A3 =2 +3 ， （1）证明1 ，2，3线性无关 （2）令P=（1 ，2 ，3 ）求P 1 AP。,证明题,设矩阵A为n阶对称矩阵,考虑函数R(x) R(x)= , x 0. 如果矩阵A的特征值 1, 2, n, 排序为 0 1 2 n. 证明 1 R(x) n.,证明题,Let A be an (nn) nonzero matrix and there exist a positive integer k such that A k =0. Prove that The all eigenvalues of A are zero. A is not diagonalizable.,