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第三章 矩阵的初等变换与线性方程组,一. 矩阵的初等行(列)变换,初等行变换和初等列变换统称为初等变换.,引理.,定理.,存在可逆矩阵P，Q 使PAQB,(3)矩阵A等价于B,(1)矩阵A行等价于B,存在可逆矩阵P 使PAB,存在可逆矩阵Q 使AQB,(2)矩阵A列等价于B,问题.,二. 矩阵的秩,定义. 若在矩阵A中有一个r阶子式D非零 且所有r1阶子式(如果存在的话)都为零 则称D为矩阵A的一个最高阶非零子式 称数r为矩阵A的秩 记作R(A) 规定零矩阵的秩等于0,求矩阵的秩.,矩阵秩的基本性质,0R(Amn)minm n R(AT)R(A) 3. 若AB 则R(A)R(B) 4.若P, Q可逆 则R(PAQ)R(A),6. maxR(A) R(B)R(A B)R(A)R(B) 特别地 当B 为列向量时 有 R(A)R(A )R(A)1,三. 求解线性方程组,定理.,定理.,定理.,定理.,(一). 线性方程组AmnXn1=m1的求解.,1.不含参数的线性方程组的求解.,2.含参数的线性方程组的求解.,(二). 求解矩阵方程AmnXnl=Bml .,