角动量教学课件.ppt

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1、第五章 角动量 角动量守恒定律,1,为什么银河系呈旋转盘状结构？,为什么直升飞机的尾翼要安装螺旋桨？,体操运动员的“晚旋”,芭蕾，花样滑冰，跳水,猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加而减少，为什么会这样呢？,2,5.1 质点的角动量 角动量定理,5.2 质点系的角动量定理,5.3 刚体的定轴转动,5.5 定轴转动刚体转动定律 转动中的功和能,5.6 刚体的进动,5.4 定轴转动刚体的角动量定理 角动量守恒,5.1 质点的角动量 角动量定理,一、质点的角动量,称为质点对参考点O的角动量或动量矩。,3

2、,说明：,角动量是描述物体的转动特征的物理量,1. 角动量是矢量,大小：,2. 角动量是相对给定的参考点定义的，且参考点在所选的参考系中必须是固定点，对不同的参考点体系的角动量是不同的。通常我们把参考点取为坐标原点，通常将角动量L 画在参考点上。,例：质点作圆周运动,例：自由下落质点的角动量,任意时刻 t,（1）对A点的角动量,（2）对O点的角动量,4,确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。,确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。,5,6,二、力对参考点的力矩,定义：力对某一固定点O 的力矩,三、质点的角动量定理,大小,7,方向：右手螺旋法则,的方向,角动量的时间变

3、化率,质点角动量定理（微分形式）,质点角动量定理（积分形式）,合力矩的冲量,角动量的增量,质点的角动量定理： 质点所受合力矩的冲量等于质点角动量的增量。,注意：力矩和角动量都是对惯性系中同一参考点而言。,8,动量定理,角动量定理,力,力矩（角力）,动量,合力的冲量,合力矩的冲量（冲量矩）,动量守恒,角动量守恒,角动量（动量矩）,四、质点角动量守恒定律,则,质点的角动量守恒定律： 对某一参考点，质点所受合力矩为零，则质点对该参考点的角动量保持不变。,若,由质点的角动量定理,例1. 质点做匀速直线运动中，对O点角动量是否守恒？,9,则,质点角动量守恒定律,若,说明：,1. 关于总外力矩 M = 0

4、 的三种不同情况：,10, 对孤立体，质点不受外力作用Fi = 0，当然有总外力矩 M = 0。, 所有的外力通过定点，对该点每个外力的力矩皆为零，因而总外力矩 M = 0，但体系所受外力的矢量和未必为零。,每个外力的力矩不为零，但总外力矩M = 0。,2. 角动量守恒定律是一个独立的规律，并不包含在动量守恒定律或能量守恒定律中。,3. 角动量守恒定律是矢量式，它有三个分量，各分量可以分别守恒。,例： 当 Mx = 0，则 Lx = 常量,例2.讨论的行星运动,有心力,11,1.角动量方向不变,行星轨道平面方位不变,2.角动量大小不变,行星矢径单位时间行扫过的面积（掠面速率）是常量。 开普勒第

5、二定律,行星对太阳的角动量的大小,=常量,=常量,是t时间内，行星与太阳间联线所扫过的面积，如图。,其中 d /dt 称为掠面速度。,证明了掠面速度不变。即开普勒定律。,12,3. 行星近地（日）点速度大，在远地（日）点速度小,在近日点和远日点,5.2 质点系的角动量定理,一、质点系角动量,轨道角动量,自旋角动量,13,例：地球绕太阳转；电子绕原子核转（自旋不同于经典）,（1） 轨道角动量 与参考点O 的选择有关。,（2）自旋角动量 是以质心为参考点的角动量。与观察者选什么样的参考点无关，也称为固有角动量。,二、质点系角动量定理和角动量守恒,1.质点系的角动量定理,14,所有内力矩的矢量和为零

6、。,计算i , j 两个质点，内力矩之和,3.质点系的角动量守恒定律,15,质点系的角动量定理：质点系所受合外力的冲量矩等于质点系角动量的增量。,2. 说明：质点系的内力矩不能改变质点系的总角动量。,1.若质点所受外力是有心力，即,则质点系的角动量守恒,沿着或背着,的方向,说明：,2. 角动量定理、角动量守恒式都是矢量式，它们对每个分量都成立。,旋转盘状星系结构-角动量守恒的结果,16,角动量守恒使地球自转轴的方向在空间保持不变, 因而产生了季节变化。,17,角动量守恒的现象,*三、质心参考系的角动量定理及角动量守恒定律,相对质心系的角动量,自旋角动量或固有角动量,18,对质心的合外力矩等于对

7、质心的角动量的时间变化率,注意：质心可以是动点，质心角动量定理对非惯性系也成立。,质心参考系的角动量定理,角动量定理只对惯性系中的固定点才成立。,当对质心的合外力矩,=常矢量,质心系中（对质心）的角动量守恒定律,则在质心参考系中角动量总是守恒,例：若质点系所受外力是重力，即,19,猫尾巴的功能,20,21,例. 发射一宇宙飞船去考察一个质量M，半径R的行星，当飞船静止于空间距行星中心 r=4R 时，以速度v0发射一质量m的仪器，要使该仪器恰好掠过行星表面。求:发射角，及着陆滑行的初速度v 多大？,解：,引力场（有心力）；系统的机械能守恒；质点角动量守恒。,5.3 刚体的定轴转动,1.平动,运动

8、过程中，刚体上的任一直线在各个时刻的位置都相互平行。,刚体的平动,特点：在任意时刻，刚体中所有点的位移相同，速度相同，加速度相同。,一、刚体运动的基本形式,用质心运动代表刚体的平动,质点运动,22,刚体：受力时不改变形状和体积的物体,刚体的平动,2.转动（定轴，非定轴）,转轴,瞬时转轴,固定转轴,非定轴转动,定轴转动,刚体中所有点都绕同一条直线作圆周运动，这运动称为转动。这条直线称转轴。,定轴转动的特点：任意时刻，所有点都具有相同的角位移，角速度，角加速度。这些角量也称刚体的角量。,3.刚体的一般运动：质心的平动 + 绕质心的转动,23,二、刚体定轴转动的描述,1.用角量描述,角坐标,角位移,

9、矢量,角速度,方向：右手螺旋法则,方向：右手螺旋法则,定轴转动：角速度仅有沿转轴的两个方向。用正负号表示方向。,角加速度,24,方向,加速转动,方向一致,减速转动,方向相反,2. 角量与线量关系,3. 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比,匀变速定轴转动,质点匀变速直线运动,5.4 定轴转动刚体的角动量定理 角动量守恒,一、力对转轴的力矩,质点动力学问题,取转轴沿z 轴方向,25,刚体动力学问题,1.力对转轴的力矩,对o点的力矩,垂直z 轴,垂直z 轴,对转轴z的力矩,力的作用点到转轴的垂直距离,位于转动平面垂直于转轴的分力,（1）力在转动平面内,方向如图,26,（2）力不在转动平面内,

10、方向如图,2.讨论：,（1）对轴的力矩只可用正负号表示方向；,（2）若有n个力作用在刚体上，且都在转动平面内，则合力矩为各力矩的代数和；,（3）刚体内质点间的内力对转轴的合力矩为零，即合内力矩为零。,3.力对轴的力矩：力对O点的力矩在通过O点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。,质元mi 对O点角动量,二、刚体对转轴的角动量,刚体对Z 轴的角动量,质元mi 对Z 轴的角动量,Jz: 刚体到转轴的转动惯量,27,质量离散分布的刚体,质量线分布,质量面分布,质量体分布,三、转动惯量,28,1.转动惯量,质量连续分布的刚体,（1）描述刚体转动惯性大小的物理量；,（2）与刚体的质量有关，质量一定时与质量的

11、分布有关；,（3）与转轴的位置有关。,29,2.转动惯量的计算,例1.一均匀细棒长l 质量为m,求（1）对棒中心轴 z1 的转动惯量,（2）对棒一端轴 z2 的转动惯量,o1,z1,解: 棒质量的线密度,z2,只有指出刚体对具体轴的转动惯量才有意义！,o2,例2. 均匀圆环绕垂直于环面通过中心轴的转动惯量。,解:,设圆盘半径为 R，,R,r,ds,z,总质量为 m，,则质量面密度,例3. 均匀圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量。,解:,30,2.关于转动惯量的几个定理, 平行轴定理,z,h,是对质心轴的转动惯量，,m是刚体质量，h是质心轴到平行于质心轴的z轴间距离，,是对平行于通过质心轴的一

12、个轴（z轴）的转动惯量。, 垂直轴定理,O,对于薄板刚体,C,薄板刚体对z 轴的转动惯量,等于对x轴的转动惯量,与对y轴的转动惯量,之和。,31,故通过质心轴的转动惯量最小, 转动惯量叠加,z,JA， JB 和JC 分别为刚体A，B 和C 对z 轴的转动惯量, 回转半径,任意刚体的回转半径,式中: J 是刚体关于某一轴的转动惯量，m是刚体的质量。,B,例:,G 不是质心,C,G,32,任何转动惯量都可以写成总质量与一个长度平方的乘积，即：,RG 称为回转半径,33,四、定轴转动刚体的角动量定理,（微分形式）,（积分形式),1. 定轴转动刚体的角动量定理： 外力对定轴的合冲量矩等于刚体对该轴的角

13、动量的增量。,2. 定轴转动非刚体的角动量定理：,五、*定轴转动刚体的角动量守恒定律,若定轴转动的刚体所受的合外力矩为零,则刚体对该轴的角动量保持不变。,1.说明：,（1）守恒条件,（2）内力矩不改变系统的角动量。,（4）在冲击等问题中,L=常量,（3）若系统由几部分构成，总角动量是指各部分相对同一转轴的角动量代数和；,34,（5）角动量守恒定律是自然界的一个基本定律。对微观粒子和高速运动也适用。,2. 角动量守恒定律的应用：,（1）转动惯量保持不变的单个刚体,（2）转动惯量可变的物体（如刚体组或可变形物体）。,变形体绕某轴转动时，若各点（质元）转动的角速相同，则,35,36,茹可夫斯基转椅,

14、37,克服直升飞机机身反转的措施：,装置尾浆推动大气产生克服机身反转的力矩,装置反向转动的双旋翼产生反向角动量而相互抵消,38,（3）对一般的刚体运动，定轴转动刚体的角动量定理对通过质心的转轴的转动也是成立的。即合外力对通过质心轴的力矩恒为零时，则对该轴的角动量守恒。,常平架陀螺,角动量守恒定律在技术中的应用,航海、航空、导弹和火箭等系统的定向标准，可用作导航和自动驾驶等。转子速度：万转/每分。,若转子稍不对称，就会对各个支撑轴产生巨大的作用力使其损坏，因此设计转子精度要高。,惯性导航仪（陀螺）,被中香炉,39,例1.匀质杆M，l 可绕水平光滑固定轴o转动，开始时杆竖直下垂。子弹m以水平速度v

15、0射入杆的下端，并嵌在杆中求：杆和子弹开始运动瞬时杆的质心速度。,解：,若子弹击在距O点2l/3处，求质心速度？,在该位置处角动量守恒和动量守恒结果一致。,设动量守恒,子弹击在杆的不同位置，O点的受力情况不同。,角动量守恒,子弹和杆碰撞，动量是否守恒？,40,例2.光滑水平面上质量M的木块静止于A点，其一端与原长l0，劲度系数k的轻弹簧相连，另一端固定于O点。质量m的子弹以初速v0水平射向M并嵌在其中。当木块运动到B点(OBOA)时，弹簧的长度为l。求：木块在B点速度vB的大小和方向。,解:,（1）动量守恒（m 和M碰撞）,（2）机械能守恒（AB弹力作功）,（3）角动量守恒（AB，弹力对O点的

16、力矩为零）,41,例3.小球m0，v0在水平冰面上滑动，撞在细木棒m，l 的一端，并粘附在木棒上。试求：（1）忽略摩擦，定量地描述小球附在木棒后，系统运动情况。（2）刚发生碰撞之后，木棒上有一点 p 是瞬时静止的，问该点在何处？,解：,（1）系统质心位置 c,小球和棒碰撞，动量守恒，设棒和小球系统质心平动速度vc,棒和球系统：碰后系统质心匀速直线运动，同时系统绕质心匀速转动。,角动量守恒（系统绕质心转动的角速度）,42,（2）瞬时静止点 p 应在质心的左侧，p点绕质心转动瞬时 向下线速度应等于质心平动速度 vc,43,解:,角动量定理,角动量守恒（碰瞬间，M内M外 ）,4.均匀细杆长l，静止于

17、水平位置，有一只小虫以速率v0垂直落在距O点 l/4 处, 并背离O点向细杆的端点 A 爬行，设小虫与细杆的质量均为m。问:欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?,44,5.5 定轴转动刚体转动定律 转动中的功和能,一、转动定律,刚体对Z 轴转动角动量定理,刚体定轴转动定律,45,讨论：,（1）定轴转动定律,与牛顿第二定律,地位相当，m反映质点的平动惯性，J 反映刚体的转动惯性。,（2）合外力矩、转动惯量和角加速度均相对于同一转轴。,（3）对定轴转动，力矩和角加速度只有两个方向，可用正负号表示方向。,二、转动中的功和能,1.力矩的功力矩的空间积累作用,2.力矩的功率,46

18、,有限角位移力做的功,力矩的功,比较力的功，力矩的功；力的功率，力矩的功率,3.转动动能,刚体小质元mi 的速率,4.定轴转动动能定理,47,动能,整个刚体的动能,刚体转动动能,物体平动动能,定轴转动刚体的动能定理：合外力矩作的功等于刚体转动动能的增量。,5.刚体的重力势能,以o为参考点，任取一质元 mi 势能为,48,整个刚体的势能,6.机械能与机械能守恒,刚体与质点组成的系统，机械能包括：,机械能守恒的条件：,刚体与质点组成系统的机械能守恒定律,* 刚体的平面平行运动,1.刚体的平面平行运动,刚体运动时，其中各点始终和某一平面保持一定的距离， 或者说刚体中各点都平行于某一平面运动， 叫刚体

19、的平面平行运动。,2.纯滚动,刚体的平面平行运动： 质心的平动与通过质心的并垂直平面的轴的转动的叠加。,圆盘的纯滚动：（没有滑动的滚动）,各点绕质心的速度大小R，方向不同。,49,方向不一样。,3.动能,选质心为基参考点,50,柯尼希定理,5.6 *刚体的进动（旋进）,51,一、进动现象,52,不转，倾斜放置,重力矩使之倾倒,绕对称轴高速旋转,自转轴,进动轴,不倒，其对称轴旋转,高速旋转的物体，自转轴绕另一轴旋转的现象称为进动（旋进）,二、进动的产生,53,由于陀螺自转角速度很大，故有：,对o点的重力矩,由质点系对定点的角动量定理,与,同方向。,在重力矩作用下，只变方向，不变大小旋进产生,角动

20、量,顶端做一水平圆周运动，,把自转轴绕一竖直轴的这种转动，称为进动（旋进）。,三、进动角速度,54,与实际符合,四、进动的应用举例,甩手榴弹时，手榴弹要翻跟头,为了保证子弹，炮弹不至如此，常在抢筒及炮筒内加螺旋形的来复线，以保证弹头朝前。,例1.已知：滑轮 m（看成匀质圆盘）半径R，物体 m1 m2。求：a = ?,a,m1g,m2g,T,解：,对否？,T,否则滑轮匀速转动，而物体加速运动,T1,T2,转动定律,线量与角量关系,m,1,2,55,请思考：若轴上的摩擦力矩为 Mf ，结果又如何？,例2.用实验方法测物体的转动惯量。已知转台的转动惯量为J0，轮轴半径r，重物质量为m, 由静止落下的

21、高度为h，所用时间为t，轴承摩擦、定滑轮和线的质量不计。,解：,56,分别以转动系统和重物m为研究对象，受力及运动情况如图所示,转动定律,牛二定律,例3.已知：匀质杆m，长l，下落到时,求：,解：,C,转动定律,57,质心运动定理,例4.绳剪断的瞬间,T,mg,质心运动定理：,转动定律：,例5.匀质圆盘，拉绳的a=? 时圆盘相对地面静止。,m,58,质心运动定理：,转动定律：,(A)摩擦力一定不为零，,解：设静摩擦力的方向如图示,(B)摩擦力一定与 同向，,(C)摩擦力一定与 反向，,(D)摩擦力的方向无法确定，,(E)摩擦力的大小一定等于 。,例6.均匀圆柱体，半径为R在水平恒力 作用下做纯

22、滚动，下列说法正确的是,静摩擦力的方向向后（与设定的方向一致）,静摩擦力的方向向前（与设定的方向相反）,59,质心运动定理：,转动定律：,f 的大小和方向与 的作用位置有关。答案(D),例7.匀质圆柱体m半径r，从质心距地面高为h的滑道上静止纯滚动而下，进入半径R的圆形滑道， 问：此圆柱体能在圆形滑道内完成圆周运动，h至少多大？,解：,质心运动方程（圆柱体在p点）,圆柱体只作滚动，故摩擦力不作功。则圆柱体，弯形、圆形滑道及地球系统机械能守恒。,纯滚动,圆柱体能完成圆周运动的条件,60,例8.水平面上l =1.0m，m=3.0kg的匀质细杆，可绕通过端点O的竖直轴Oz转动，杆与桌面之间的摩擦系数

23、 =0.20，开始时杆静止，有一颗子弹质量m0=20g，沿水平方向以v=400m/s，且与杆成=30角的速度射入杆的中点并留在杆内。 求：（1）子弹射入后，细杆开始转动的角速度；（2）子弹射入后，细杆的角加速度；（3）细杆转动多大角度后停下来。,解：,得细杆开始转动的角速度,（1）将子弹和细杆作为一个系统，子弹击中细杆前后系统角动量守恒,（2）子弹射入后细杆的角加速度,61,（3）设系统转动角后停下来,62,例9.有一半径为R，质量为m的圆形平板平放在水平桌面上，平板与桌面的摩擦系数为，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度0 开始旋转，它将在旋转几圈后停止？,解：,63,（1）求圆盘的

24、摩擦力矩,取宽为dr 的圆环，环的质量为：,选角速度方向为正方向，圆环所受的摩擦力矩为,圆盘受摩擦力矩,（2）圆盘的角加速度,（3）转过的圈数,解：,能否用角动量守恒？,角动量定理,合外力矩不为0，角动量不守恒！,10.已知：两匀质圆盘m1 ，R1， 0，,两盘无相对滑动时,求：,两盘无相对滑动时,m2 ，R2静止。,求多长时间能停下来？必须知道摩擦系数。,64,f,-f,系统外力,系统外力,力学总结,力学研究：,三个守恒定律：,运动学（质点、质点系）,刚体定轴转动（一维） （特殊质点系）,状态及其变化,匀变速直线运动（一维）,匀变速定轴转动（一维）,*线角关系,瞬时性，力在时间积累，力在空间

25、积累。,动量守恒，角动量守恒，能量守恒。,65,动力学（质点、质点系）,刚体定轴转动（一维） （特殊质点系）,*运动定律（瞬时关系式）,*转动定律（定轴）,力在时间的积累,质量,转动惯量,动量,角动量,力,力矩,（质点质量不变）,（质点系平动，质心运动定理）,动量定理,（质点）,（质点系）,角动量定理,*动量守恒,力矩在时间的积累,空间平移不变性,内力外力,*角动量守恒,空间旋转不变性,内力矩外力矩,66,动力学（质点、质点系）,刚体定轴转动（一维） （特殊质点系）,共同点,（做功与路径无关）,质点系功能定理,势能,保守力作功,当只有保守力作功,*机械能守恒,时间平移不变性,孤立体系能量守恒,力在空间的积累,动能定理,功,动能,力矩在空间的积累,力矩功,转动动能定理,（一维）,转动动能,（重力，引力，弹性）,机械能,（包括转动动能）,67,