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1、特征值与特征向量,【探究】 1、计算下列结果：,以上的计算结果与 的关系是怎样的？,2、计算下列结果：,以上的计算结果与 的关系是怎样的？,例题分析,Mala,l为矩阵M的特征值, a为矩阵M的属于特征值 l的特征向量。,特征值及特征向量的定义,建构数学,设矩阵A ，如果对于实数l，存在一个,非零向量a，使得Aa= la，则称l是矩阵A的一个特征值。,a是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量。,从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上。,这时，特征向量或者方向不变(l0)， 或者方向相反(l0).,特别地，当l=0时，特征向量被变换成了0向量.,设l是矩阵A= 的一个
2、特征值，它的一个,特征向量为,则,即 满足方程组,故,因l0，所以x,y不全为0，,此时Dx=0、Dy=0.,则D=0,即,建构数学,设矩阵A ，lR，我们把行列式,称为A的特征多项式。,分析表明，如果l是矩阵A的特征值，则f (l)=0,此时，将l代入方程组(*)，得到一组非零解,即 为矩阵A的属于l的一个特征向量.,数学运用,例1、求出矩阵A= 的特征值和特征向量,能否从几何变换的角度直接观察出矩阵A的特征向量？,思考：,总结求二阶矩阵特征值与特征向量的步骤：,其几何意义是什么？,如果a是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量，则对任意的非零常数t，ta也是矩阵A的属于特征值l的特征向量。,【定理1】,属于矩阵的同一个特征值的特征向量共线.,属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线。,【定理2】,属于矩阵的不同特征值的特征向量有何关系？,思考：,探究：,1、矩阵A= 的特征向量是什么？,怎样从几何角度加以解释？,2、从几何角度解释,的特征向量。,知识回顾,新课讲解,建构数学,建构数学,任意向量都可以用特征向量来表示。,数学运用,