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1、柯西不等式在中学数学中的证明和应用 李芹 !吉安市白鹭洲中学，江西吉安#$% !摘要柯西不等式是一个非常重要的不等式， 灵活巧妙地应用它， 可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文 通过几个例子来讲述柯西不等式在证明不等式， 解三角形相关问题， 求函数最值， 解方程等问题中的应用。 !关键词柯西不等式； 证明； 应用 :? 9688=68AB=6 C6DE:8G% L:+,2 M:+, NEO+,$1 第!卷第!期 （下转第!#页） !#$ #!%!（#$#）!%#! # 只需证： #!%!（#$#） !%#! # ! （ #!%!（#$#） !%#! # ） 证明：是9到三边 %.2.3的距离
2、，4是:/01外接圆的半径， 证明： ! ! - ! ; ! # !4 ! %!2!3! ! ； %/01 # !（%!2-3;） $%!2-3;!%/01 分析：%867+ # ! %22341 % 234/ + 2 2340 + 3 2341 +! $ # $ % +!+ %23 !4 9 证明： 由柯西不等式得， ! ! - ! ; ! %! ! # %! 2- ! # 2! 3; ! # 3! %!2-3; ! # % # 2 # 3! , 记为:/01的面积， 则 %!2-3;!9 %23 )4 %23 !4 ! ! - ! ; ! %23 !4! %2233% %23! # !4
3、! %2233% ! # !4 ! %!2!3! ! 故不等式成立。 !$求最值 例:*求函数-+)!$! ! %! ! 的最大值。 解： 函数-+)!$! ! %! ! 的定义域为：!,%= -+)!$! ! %! ! +)!$! ! （% ! ） ! ! （!$! ! ） ! ! ） ! ! 当且仅当)%;! ! % ! !$! ! 即! 1) # #*在实数集内解方程 !+ ) ;!)-+% $ ) $ % 解： 由柯西不等式， 得 （!） !)） !=! （;!5-$!)-） ! ?! *（!） !)） !=+ ) A（5)!)-） !+%! （!） !)） !=+ （;!)-） !
4、即不等式 （!） 中只有等号成立。 从而由柯西不等式中等号成立的条件， 得 ! ; - 5 ; ;!) 它与$!5-$!)-%联立， 可得 李芹： 柯西不等式在中学数学中的证明和应用#!1 井冈山学院学报 （自然科学）第!卷第!期 !# # $% ，$# !# ，%# $;39 8/?20 ) /?20 %AAA) B6/02） 342%5)(%：B246CD/09E423/FC /G 20 9HF:9I93C /IJ7:F20F /09E423/FC) F69 0/IK39 /0L90/74G 2JJ3/2F/70 /F) I2C 24G9 G7I9 I7:9 ;/=/43F E49GF/7
5、0 F7 K9 92G/3C G73M9;*N6/G 2:F/39 02:2F9G 246CD/09E423/FC F6:74L6*G9M9:23 9H2IJ39G F69 /09E423/FC /0 F69 J:77= /09E423/FC)G73M9G F69 F:/20L39 7:932F/70 E49GF/70)2GOG F69 =40F/70 I7GF M2349) G73M9G E49GF/70 20; G7 70 /0 9E42F/70 2JJ3/2F/70G 6#/ 7*528/09E42F/70；J:7M9；2JJ3/(*生物学通报)!AA%)%2F/70 9;42F/70*N69 J2J9: I2;9 2 7IJ2:/G70 /0 F69 4:/434I L723) 4:/434I /;92) 4:/434I 7KZ9F/M9) 4:/434I 70F90F 20; GCGF9I K9F990 K/737LC F:2;/F/70 4:/434I 20; 09 4:/434I) 67J9 F62F 20 693J 04I9:74G I/;39 G6773 K/73 7LC F9269:G* 6#/ 7*528 K/737LC F:2;/F/70 4:/434I 09 4:/434I （上接第!#页） （责任校对： 罗辉） （责任校对： 温永顺） $!&