《柯西收敛准则证明.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《柯西收敛准则证明.pdf（2页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 科学之友 Friend of Science Amateurs 2012年05月 3 柯西收敛准则的证明 高俊芳，赵临龙 （安康学院数学与应用数学研究所，陕西 安康 725000） 摘 要：在运用实数完备性 6 个基本定理的等价性中，文章给出了由其他 5 个定理来证 明柯西收敛准则的方法，充分体现了实数完备性基本定理与柯西收敛准则的统一性。 关键词：柯西收敛准则；确界；聚点；单调有界；有限覆盖；区间套 中图分类号：O174.1 文献标识码：A 文章编号：10008136（2012）14000302 柯西准则在数学分析中应用极为广泛，是数学分析的基础 理论。文 1用两种证明方法，即用区间套定理
2、和致密性定理证 明柯西收敛准则。在大多数研究成果中，都链条式地论证了实 数系的基本定理， 并最终形成一个论证环。 24柯西准则的证明 是重点也是难点，尤其是其充分性。本文重在讨论柯西收敛准 则充分性的证明，其必要性较为简便，本文只给出一种证法。 1 相关定理 定理 1（柯西收敛准则） ：数列an收敛的充要条件是：对 任给的 0， 存在正整数 N， 使得当 n， mN 时， 有| anam |。 定理 2（确界定理） ：非空有界数集必存在确界。 定理 3（单调有界定理） ：在实数系中，有界的单调数列必 有极限。 定理 4（聚点定理） ：实轴上的任一有界无限点集至少有一 个聚点。 定理 5（区间套
3、定理） ：若 an，bn 是一个区间套，则 在实数系中存在唯一的一点，使an，bn ，n1，2， 即 anbn。 定理 6 （有限覆盖定理） ： 设 H 为闭区间 a， b 的一个 （无 限）开覆盖，则从 H 中可选出有限个开区间来覆a，b 。 2 柯西收敛准则必要性的证明 易知，an有极限时（设极限为 a） ，an一定是一个柯西 数列。 因为 0 ， 存在正整数 N， 当 n， mN 时， 有| 2 n aa ， | 2 m aa ， 存在正整数 N0， 当 nN 时， 有| 3 nN aa ， 即| an | aN | 3 ，取 为固定值，则证得an有界。 又由当 nN 时，| 3 nN
4、aa 得得到 33 NnN aaa + （1） an有界则存在 b，c，s.taian（i1，2，n）有 b aic（i1，2，n） ，即 b 与 c 分别为数列中所有数的上 界和下界，由确界原理知，其必有确界，对任意正整数 n，设 inf,sup nknk k n k n ba ca =，bncn。 又由区间套定理，存在数 A 是所有区间bn，cn的公共点， bnAan，而对任意正整数 n，当 kn 时，inf nk k n ba =ak sup kn k n ac =。 于是| Aak |（cnbn） ，由（1）得当 nN 时，an 3 inf k nk abncnsup k nk aan
5、 3 。 于是，当 nN 时，cnbn 33 +，当 kN 时，A ak，即有 Aak k = lim 。 第二， （定理 3定理 1）先证明柯西数列an有界，取 1， 因为an柯西数列， 所以存在某个正整数 N， 当 nN 时， 有 1 | 1 nN aa + ，0K，当 m，n，kK 时，同时有| 2 nm aa （由 柯西条件） ，| | 2 k n aa （由lim k n k aa =） 。 当取 mnk（kK）时，得| ana | anan k | anka | 22 ，NN+，当 knN 时， 有 （an，ank） 2 ，（an k，a） 2 。 PN+ ，取 nPnk，则 nk
6、kn，从而 （an，a） （an，ank）（an k，a） 22 ，NN+，nN有 + | 1Nn aa | 11+ += NNnn aaaa ，NN+，有| ana0 |0，则在 U（a0； 0 2 ）内，仅含an的有限项。 令 HU（a0； 0 2 ）| a0a，b，则 H 是闭区间a， b的一个开覆盖。由有限覆盖定理知，其必存在有限子覆盖， 不妨设存在 U（a1； 2 1 ） ，U（a2； 2 2 ） ，U（an； 2 n ）是它 的一个子覆盖，即 n i 1= U（ai； 2 ）a，b ，而 U（ai； 2 i ） （i 1，2，n）只含有限个点，从而它们的并也只含有限个点， 从而得出
7、a，b也只含有限个点，这与a，b是无限点集 矛盾， 从而假设不成立， 即必存在 a0 a， b ， 使得 0 limaan n = 。 参考文献： 1华东师范大学数学系编.数学分析（上册，第三版） M. 北京：高等教育出版社，2011. 2王美丽，李磊.实数完备性六个等价命题的推广J.南阳 师范学院学报，2009（12）. 3庄陵，唐贤伦等.实数完备性基本定理的循环证明J.重 庆工商大学学报，2006（3）. 4 马爱江.单调有界数列必有极限与柯西收敛准则等价性证明 J.新疆教育学院学报，2003（4）. （编辑：尤俊丽） The proof refrain from rash action
8、standard of Cauchy Gao Junfang, Zhao Linlong Abstract: In the etc. price making use of real amount complete six basic axiomses, give is proven by five other axiomses Cauchy refrains from rash action the method of standard and well embodied real amount complete the basic axioms and Cauchy refrain from rash action the unity of standard. Key words: Cauchy refrains from rash action standard; indeed boundary; gather a point; is monotonous to have boundary; limited overlay; zone set