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1、第2 8 卷第1 期 2 0 1 0 年1 月 河南科学 H E N A NS C I E N C E V 0 1 2 8N o 1 J a n 2 0 1 0 文章编号：1 0 0 4 - 3 9 1 8 ( 2 0 1 0 ) 0 1 - - 0 0 2 5 - 0 3 特征值法求解二次型的条件最值问题 马巧云 ( 河南农业大学信息与管理科学学院，郑州4 5 0 0 0 2 ) 摘要：根据L a g r a n g e 乘数法求解条件最值问题的原理，针对特殊的二次型条件最值问题，分析最值与特征值间的 对应关系，给出二次型条件最值问题求解的特征值方法，并结合例子说明特征值方法求解的简便及有效
2、，具有一定 的应用价值 关键词：二次型；条件最值；拉格朗日( L a g r a n g e ) 乘数法；特征值 中图分类号：01 7 2 1 ；01 5 1 2文献标识码：A 条件最值问题是各级各类数学竞赛中的热点问题之一，经常出现于生活实践中初等数学对这类问题 的求解多利用单调性、二次函数、不等式、消元法、数形结合、换元及对称优化等思想，但这些思想的灵活运用 往往需要较强的解题技巧高等数学对这类问题的求解多利用拉格朗日( L a g r a n g e ) 乘数法，然而当变元较 多时，其求解步骤往往过于繁杂本文针对一类特殊的二次型条件最值问题，研究对其求解的特征值方法 1 二次型的条件最值
3、问题 二次型的条件最值问题是一类特殊的多元函数极值问题本文只讨论二次型x i 誓( = 啄) 在 = 1 j = l 条件戈；= c ( c o ) 下的最值及二次型菇；在x l x j = k ( = ，后 o ) 下的最值问题 i = 1i = li = 1 j = l 定义设有满足条件E Q l ，”，砧= 0 ( 扛l ，2 ，m ，r e o ) 下的最大值( 最小值) 恰是其实数特征值中最 i = 1 j = l i = l 大值( 最小值) 的c 倍 证明利用拉格朗日乘数法 2 1 先作拉格朗日函数 L ( x 。，耽，戈= x i x j A ( 砰_ c ) ， i = 1
4、j = t i = 1 其中：A 为参数再令其关于孙扬，的一阶偏导数为0 ，得 等= 2 孙铲冲2 ( 一”矿+ 列- 0 ， 瓦O L = 2 善吻鼍一2 h 2 = 2 k l 石t + ( 呦一h ) x 2 + - - + = o ， ( 1 ) 面O L = 2 要一2 k = 2 k + z z z + + ( 一入) = 0 收稿日期：2 0 0 9 0 9 1 I 作者简介：马巧云( 1 9 6 8 一) ，女，河南新密人，副教授，博士，主要研究方向为系统工程及应用数学 万方数据 一2 6 一河南科学 第2 8 卷第1 期 由于= 啄，所以( 1 ) 可化为 口l l A a
5、1 2 n l n a 1 2 呦一A 口2 I l 口l “ 口肼一A 戈l 戈2 ： = 0 这是一个齐次线性方程组，由于= c o ，所以茗。，茗：，不全为o ，从而( 2 ) 有非零解，即该方程组的系数 i = 1 行列式为0 ，于是 所以A 是x , x i 系数矩阵的特征值 = 1 j = l 又依次用菇- ，物，分别乘( 1 ) 再相加得气誓一A ( ) _ 0 ，又Z = c ，因此呀蕾鼍A 特别地，二次型i = 1j = 1 鼍鼍在条件萋= l 下的最大值( 最小值) 恰是二次型萋n 享气薯实特征值中的 最大值( 最小值) 埘 定理2 二次型= 1 名；在条件萋暑n 呀气吩矗
6、吨= 啄，后 o ) 下的最大值( 最小值) 是二次型窆i = lj 窆f f i l 戈一正 数特征值倒数中的最大值( 最小值) 的k 倍；当有特征值为0 时，菇；在条件气吩瑚魄：啄，k O ) T 没有最大值，最小值为最大正数特征值倒数的k 倍 证明作拉格朗E t 函数L ( x 。，锄，戈n ) = 一 _ ( 誓- k ) ，令其关于X ls - 鬈2 s ，的一阶偏导 i = l ，I i = 1 = l 数为0 ，得 普= 缸。一 喜号一页2r ( a l l _ ，k h + 髫：+ 忱。以 = 0 ， 等= 氖：一 喜吁誓一 k + 一D 恐+ 心 = 。， ( 4 ) 等=
7、一 娄巧一 k 帆：+ + ( n 胍一心 = o 接下来证明参见定理l ，直到A 是x , x j 系数矩阵的特征值再用菇。，菇：，分别乘( 4 ) 再相加 得姜a o x i x i A ；髫；= o ，又由于鼍鼍：I | ( ：啄，后 0 ) ，因此n # ：r k ( A o ) - l J = l = I - Ii = 1扛l 几 由于后 o ，；算；= 随正数特征值A 的减小而增大，且当A 川时， 的极限不存在，所以窆i = 1 并；= 不存 在最大值，而其最小值则是最大正数特征值倒数的k 倍证毕 特别地，二次型i = 1 石；在条件i = lj = 1 气誓= l 咄= 吩，J
8、| 0 ) 下的最大值( 最小值) 是二次型娄娄气鼍正 特征值倒数中的最大值( 最小值) 【习 2 2 特征值方法的求解步骤 根据定理1 和定理2 ，只要知道二次型Z a o x i 誓的特征值A ，就可以知道巧或者龙；在特 旬 ：；一 乜“； h 以 =!； h。q；吼 口 万方数据 2 0 1 0 年1 月 马巧云：特征值法求解二次型的条件最值问题一2 7 一 定条件下的最大和最小值了，因此应用特征值方法求解二次型条件最值问题是方便的，其步骤可归纳为： 1 ) 判定问题确实属于定理所描述的二次型条件最值问题； 2 ) 求二次型毛誓的特征值； = 1 j f f i i 3 ) 根据定理写出
9、二次型气誓或者Z 在特定条件下的最大和最小值 = 1 j = l l = l 3 应用举例 例1 求缸2 + 5 户 2 + 缸广缸z 一8 弦在矿妒+ = 2 - 7 时的最值 2 _ A2 2 I 解二次型如2 + 5 严+ 2 + 缸y - 4 懈一8 垆的特征方程为I 25 - A- 4 I = o ，解得特征值为1 0 ，1 ，1 根 l 一2 - 45 - A 据定理1 可知，2 x 2 + 5 y 2 + 5 2 4 锄陆z 一8 弦在妒酽+ z 2 = 7 时的最大和最小值分别为7 0 和7 例2 求厶2 + 2 严+ 勉2 _ 2 髫y _ 2 x z 一2 弦在乒妒+ z
10、2 = 5 时的最值 2 一A l l I 解二次型h 2 + 2 卉乙2 _ 孙r 2 x z 一2 垆的特征方程为l 一1 2 - A l l = o ，得特征值为3 ，3 ，o 根据 l 一1 12 - A 定理l 可知，2 髫2 + 驴乙2 _ 2 矽一2 x z 一2 ：弦在彤2 。i ，k 4 5 时的最小值和最大值分别是0 和1 5 例3求戈吼2 在缸2 + 驴勉2 _ 弘广2 x z 一2 y 2 = 5 时的最值 2 一Al一1 解二次型孙2 + 2 产勉2 - 红广2 x z 一跏的特征方程为I l 2 - A一1 I = o ，得特征值为3 ，3 ，o 根据 l l 一1
11、2 - A 定理2 可知，茗矾2 在厶2 + 2 卢压2 _ 缸广2 x z 一2 y z = 5 时的最小值为 ，最大值不存在 4 总结 文中仅对含有二次型标准项；戈；的条件最值问题进行了讨论，揭示了；j = l 吩吒芬( 吩2 啄) 与i = 1 菇；互换 位置所构成不同二次型条件最值问题解间的联系，实例验证了利用特征值求解二次型条件最值的简便性和 有效性 参考文献： 1 北大数学系代数教研窜代数小组高等代数 M 3 版北京：高等教育出版社，2 0 0 3 2 同济大学数学系高等数学口 6 版北京：高等教育出版社，2 0 0 7 3 钟志水二次型最值拾趣跚安庆师范学院学报：自然科学版，2
12、0 0 0 ，6 ( 1 ) ：4 0 L 4 2 A p p l y i n gE i g e n v a l u e st oS o l v et h eC o n d i t i o n a lE x t r e m u mo fQ u a d r i c sF o r m M aQ i a o y u n ( C o l l e g eo fI n f o r m a t i o na n dM a n a g e m e n tS c i e n c e ，H e n a nA g r i c u l t u r eU n i v e r s i t y ，Z h e n g z h
13、 o u4 5 0 0 0 2 ，C h i n a ) A b s t r a c t ：B a s e do nL a g r a n g em e t h o do fm u l t i p l i e r ss o l v i n gc o n d i t i o n a le x t r e m u m ，f o rac e r t a i nc o n d i t i o n a le x t r - e m n mo fq u a d r i c sf o r m ，i t se x t r e m u m sc a nb ed e t e r m i n e db yt h e
14、e i g e n v a l u e s T h em e t h o do fe i g e n v a l u e st os o l v e c o n d i t i o n a le x t r e m u mi si l l u s t r a t e db y $ o m ee x a m p l e s ，w h i c hp r o v et h em e t h o dv e r yc o n v e n i e n t ，e f f e c t i v ea n d a p p l i c a b l e K e yw o r d s - q u a d r i e s
15、f o r m ；c o n d i t i o n a le x t r e m u m L a g r a n g em e t h o do fm u l t i p l i e r s ：e i g e n v a l u e 万方数据 特征值法求解二次型的条件最值问题特征值法求解二次型的条件最值问题 作者：马巧云 作者单位：河南农业大学信息与管理科学学院,郑州,450002 刊名： 河南科学 英文刊名：HENAN SCIENCES 年，卷(期)：2010,28(1) 参考文献(3条)参考文献(3条) 1.北大数学系代数教研窜代数小组.高等代数M.3版.北京:高等教育出版社,2003. 2.同济大学数学系.高等数学J.6版.北京:高等教育出版社,2007. 3.钟志水.二次型最值拾趣J.安庆师范学院学报:自然科学版,2000,6(1):40-42. 本文链接：