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1、经典谐振子与量子谐振子摘 要：本文分别介绍了经典谐振子与量子谐振子的运动，详细分析了简谐振子在经典力学中的运动特点及其运动方程，从运动方程中描述了力、位移、速度及加速度之间的关系并验证了简谐运动的能量守恒。而在量子力学中通过对谐振子能量的推导及其分析，清晰地看到了谐振子在宏观世界与微观世界的不同。关键字：经典谐振子；量子谐振子；运动方程；能量The Classical Harmonic Oscillator and Quantum OscillatorAbstract:In this paper the classical harmonic oscillator quantum harmoni
2、c oscillator with the movement is described, a detailed analysis of harmonic oscillator in classical mechanics the motion characteristics and equations of motion, described from the equations of motion force, displacement, speed and acceleration, and the relationship between verify the conservation
3、of energy for simple harmonic motion. In quantum mechanics, harmonic oscillator energy through the derivation and analysis, clearly see the harmonic oscillator in the macro world and the microscopic world of difference.Key words: classical harmonic oscillator；quantum harmonic oscillator；equation of
4、motion；energy引言简谐振子是力学中一个十分重要的问题,在实际运用发面涉及到的机械运动的大多数问题都可简化为简谐振子的运动问题，而且在声学、光学等许多物理问题中都会出现类似谐振子运动方程的方程。简谐振子显示了许多物理系统的共同特征。1经典谐振子1.1简谐运动及简谐振子任何在相等时间间隔内重复自身的运动都叫做周期运动，在周期运动中质点的位移总可以用正弦函数和余弦函数来表示，这种周期运动常叫做谐运动，如果做周期运动的质点在同一路线上来回运动，这种运动就叫做振动1。若一质点在平衡位置附近来回振动该质点的势能按下式改变：式中k是常数，作用在质点上的力为F，这样振动的质点叫做简谐振子，而它的运
5、动就叫做简谐运动1。一个系于倔强系数为k的理想弹簧上并且在光滑水平面上质量为m的物体就是简谐振子的一个例子，如图1所示。图1简谐振动1.2简谐运动方程及其特点先将牛顿第二定律应用到图1的运动中，以代替并且将加速度写成,则得 该方程叫做简谐振子的运动方程2。根据微积分学，我们知道正弦函数和余弦函数都具有这种性质，这样就可以写出运动方程的尝试解为： 将 代入运动方程得： 所以，如取常数的数值使得，则实际上就是简谐振子运动方程的解3。如果在式中将时间增加一个数值，函数就变成了 所以，是运动的周期。因为，故有 因此由方程 ,给出的所有运动都有相同的运动周期，并且这周期仅由振动质点的质量和弹簧的倔强系数
6、决定。振子的频率，是单位时间完全振动的次数，由下式给定 量叫角频率， 是运动振幅，简谐运动的频率与运动的振幅无关，量是运动的相位，常数叫初相位4。U（）F(x)简谐振子势能曲线随位移的平方而改变3，作用在质点上的力的大小与位移成正比，但方向与位移相反，振动的两极限位置离开平衡位置的距离是相等的，最大位移的大小叫做简谐运动的振幅。图2描述了质点势能及力与位移的关系。图2质点势能及力与位移的关系简谐运动的另一个明显特征是振动质点的位移，速度，加速度之间的关系：这些曲线的方程是： 那么它最大的位移为,最大的速度为，而最大得加速度为。1.3 简谐运动中的能量守恒5对于包括简谐运动在内的谐运动来说，如果
7、没有耗散力作用在系统上，则系统的总机械能量守恒。简谐运动的位移由下式给出： 在任何时刻，势能 AA势能的最大值为。在运动期间，势能在零和这个最大值之间改变，如图3所示。图3势能的变化曲线在任何时刻，动能为。利用关系式与得到所以动能具有最大值或，这与先前所说的最大速率是一致的。在运动期间，动能在零和这个最大值之间改变，总机械能为动能与势能之和: 可见，总能量是恒定的，它具有数值。在最大位移处，动能为零而势能为,在平衡位置，势能为零而动能为。在其它位置，动能和势能各自贡献的能量之总和为。图3表明了这个恒定的总能量。作简谐运动的质点的总能量与震动振幅的平方成正比。由图3可以清楚地看出，在一个周期内运
8、动的平均动能恰好等于平均势能，并且每个平均值都是。通常，可将方程写成，由此关系式可得到: 或 这一关系式清楚地表明：在平衡位置x=0处，速率为零。实际上，我们可以从能量守恒的方程出发，通过建方程 积分，而得到最为时间函数的位移。所得结果与式子 完全相同，而式子是由运动的微分方程推到出来的5。2量子谐振子2.1量子谐振子的运动方程所谓的简谐振子就是一个受弹性力作用的系统，其势能 为弹簧系数，为振子的经典频率。量子谐振子的运动方程为： 为简化书写，令 ， 于是方程化为 当时，以上方程有渐进解 ，方程的精确解可写作：2.2量子谐振子能量6 将它带入 ，得到满足的方程：次方程厄米方程，可用级数法求解，
9、为此令我们要求，否则，时，将为无穷。将以上级数代入，比较的系数，可得以下递推公式：当于是有 由此得出和。当时，于是有 因为要求，由此得出,否则必须。在确定后，根据递推公式，可只讨论，这时，递推公式变为 (1)考察以上级数的收敛特性，当时，由 而 ， 由此可见，从(1)式算得的级数，在时，具有的发散特性，从而整个波函数时，仍按趋于无穷，这是不能允许的。要避免以上情况，除非方程中的参数取，取些特定的数值，已使无穷级数中断为一多项式，这时波函数在无穷远处的性质就只取决于了。，是与能量有关的参数，条件 n=0,1,2,3给出能量 这说明不是任何能量值都有相应的状态存在，可能状态的能量，只能取以上量子化
10、的数值。在经典力学中，振子的能量与振幅平方成正比，振幅可以连续变化，因而能量亦能连续取值，并且存在能量为零的静止状态7。在量子力学中情况则不同，能量只能取量子化的数值，相邻能级的能量差为。基态亦具有能量，它称为零点能8。当去定后，即可由递推公式算出相应的，从而得出相应的波函数，）称为厄米多项式，它亦可由以下公式直接计算：）=最后波函数由以下式子给出： 其中， ，对应的能量为下面是量子谐振子的最低几个能级的波函数和几率9分布如图4所示当能量低时的情况：图4低能量时量子谐振子的能及的波函数和几率分布能量高时的情况如图5所示： 图5高能量时量子谐振子的能及的波函数和几率分布3 经典谐振子与量子谐振子
11、的异同10从能量的角度上看，当能量高时量子几率平均说来与经典几率相近，即能量高时量子力学的结果将与经典力学一致，在量子力学中，由于粒子一开始就处于不定态，故它有几率为零的节点存在，但平均值与经典几率一致；它们的不同点主要是运动方程的描述方式不同，经典谐振子是用牛顿运动定律描述而量子谐振子是用波函数来描述的故它们运动方程不同，方程的解也不同。结论本文通过详细分析谐振子在经典力学与量子力学中的运动，得出它们的能量分布几率基本相似，但它们的运动描述方式完全不同。从能量的角度上看，当能量高时量子几率平均说来与经典几率相近，即能量高时量子力学的结果将与经典力学一致，在量子力学中，由于粒子一开始就处于不定
12、态，故它有几率为零的节点存在，但平均值与经典几率一致；它们的不同点主要是运动方程的描述方式不同，经典谐振子是用牛顿运动定律描述而量子谐振子是用波函数来描述的故它们运动方程不同，方程的解也不同。参考文献：1 邹鹏程.量子力学M北京：高等教育出版社，1989：981062 郑永令,吴建华.物理学基础M北京：高等教育出版社，1979：1251293 陈本黎等.量子力学中的谐振子M福建: 福建科学技术出版社,1989：55684 张礼、葛墨林.量子力学的前沿问题M北京：清华大学出版社，2000：7985.5 刘连涛.理论物理基础教程M高等教育出版社，2006：4374386 朝永振一郎. 量子力学中的数学方法M上海:上海科学技术出版社,1961:12157 曾谨言.量子力学M科学出版社，1981：6667.8 周在勋.量子力学教程M人民教育出版社，1979：165.9 张林芝.量子力学M东北大学出版社，2003：8687.10 法萨尔蒙.量子力学M科学出版社，1981：9697.