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1、空间几何体的表面积和体积知识要点精析一学习目标根据新的课程理念的要求，要“用教材教” ，而不能一味地 “教教材”。那么， 对于立体几何初步这一章的第3 节空间几何体的表面积和体积来说，在学习的过程中，怎样准确地把握教与学的尺度呢？本章内容是义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与发展，重点是帮助学生逐步形成空间想象能力。为了符合学生的认知规律，培养学生对几何学习的兴趣，增进学生对几何本质的理解，本章在内容的选编及内容的呈现方式上，与以往相比有较大的变化。首先，通过观察和操作，使学生了解空间简单几何体（柱、锥、台、球）的结构特征，以此作为发展空间想象能力的基本模型；然后，通过归纳和分析，使学生进一
2、步认识和理解空间的点、线、面之间的位置关系，作为思维辨证的基础。由于几何图形的面积和体积的计算需要应用垂直的概念，因而这一部分内容放入本章最后一节。本章内容的设计遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，强调借助实物模型，通过整体观察、直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算，引导学生多角度、多层次地揭示空间图形的本质；重视合情推理和逻辑推理的结合，注意适度形式化；倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，帮助学生完善思维结构，发展空间想象能力。二知识点拨空间几何体的表面积和体积这一节，新教材没有像以往那样重在介绍公式的推导过程，而是侧重介绍了公式推导的思想方法，采用了“阅读”的形式介绍了祖恒原理，让学
3、生体会祖恒原理和积分思想。为了增强学生的数学应用意识，教材还通过“问题与建模”栏目介绍了两种体积计算的近似方法，既有利于提高学生的建模能力，又为学生解决生产、实践中的实际问题提供了知识基础和基本思想。教材内容突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索、研究空间几何图形的过程，涉及的数学思想主要有数形结合思想、符号化与形式化思想、化归思想等，涉及的一般科学方法主要有观察、实验、归纳、类比、分析、综合、抽象等。本节内容涉及到以下一些面积与体积公式：S正棱柱侧ch ， S正棱锥侧21ch ， S正棱台侧21 ( cc )hS圆柱侧cl2 rl ， S圆锥侧21 clrl ， S圆台侧21 (c
4、 c )l( r r )lV柱体Sh， V1 Sh ，V台体1(SSS)锥体33 h SV球体34 R3 ， S球面4 R2虽然以上公式较多，但对于大多数公式学生并不感到陌生，教学中只需要让学生初步了解公式推导的方法，体会祖恒原理和积分思想。另外， 对展图方法与割补法，也要在解题的过程中加以渗透。 课本中例2 介绍了把圆柱沿母线展开，将问题转化为平面几何问题的思路；对于课本的例1，应重点分析六角螺帽毛坯的结构特征（正六棱柱挖去一个圆柱），渗透“割”与“补”的思想和方法。三典例精析除了课本中给出的典型例题外，还可适当补充一些经典的事例，帮助学生更好地认识立体几何，学习好立体几何。例 1 正方体
5、ABCD A 1B 1C1D1 的棱长为1，P 是面对角线BC 上一动点， Q 是底面 ABVF用心爱心专心1上一动点，则D 1P+PQ 的最小值等于_。图 1分析 ：如图 2，由题意可知： D1P+PQ 取最小值时，点 Q 一定是 P 在底面上的射影。因为 D 1P 与 PQ 分别在两个平面内，所以把 BC1C 沿 BC 1 翻转 90，使 BC1C 与对角面ABC 1D 1 在同一平面内， 因为 PQ BC ，所以当 D1、P、Q 三点共线且与BC 垂直时， D 1P+PQ最小，即为D 1Q1=122图 2点评 ：利用“展图法” ，成功地将立体几何问题化归成了平面几何问题，从而使问题得到了
6、很好的解决。例 2 如图 3，圆台上底半径为 1，下底半径为 4，母线 AB=18，从AB中点 M拉一条绳子绕圆台侧面转到 A 点。（ 1）求绳子的最短长度；（ 2）求绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离。分析 （1）要求绳子 AM 绕圆台一周的最短长度，则可沿AB将圆台的曲面展开，得扇环面（即将曲面问题转化为平面问题），然后求出扇环面上 AM 间的距离， AM = 152242图 32 1524 cos60 21 ，即绳子的最短长度为21。（ 2）要研究此时上底圆周上的点到绳子的最短距离，则需将扇环补充成扇形，这样将BB上的点到A M的最短距离问题转化为点S 到 AM的最短距离（因为点
7、S 到 BB 上的点的距离等于半径SB）。故只需求出S 到 AM的距离 SQ，再减去半径SP 即可。即上底圆周上的点到绳子最短距离PQ=SQ SP=SQSB= 6036 。7点评 ：此题用到将圆台“补成”圆锥再展开进行研究，这种割、补、拼凑的思想，是重要的数学思维方法。D例 3 一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱A长为 a，则这个球的体积是_。分析 ：将正四面体ABCD “嵌入”到正方体中，使正四O面体的六条棱分别是正方体六个面的面对角线（如图4），则B球 O 与正四面体的六条棱都相切等价于球O 与正方体的六个面都相切。易知正方体棱长为22a ，故C图 42 a ，所以球半径为4球
8、的体积为 34 R363a3。用心爱心专心2例 4 如图 5，在正三棱锥 S-ABC 中， M 、 N 分别为棱 SC、SBC 的中点，并且MN AM ，若侧棱长 SA= 2 3 ，则正三棱M锥 S-ABC 的外接球的表面积为1236ACABNC32D48B分析： 由条件中的 MN AM ，可以推得 SBAM 。图 5又由正三棱锥S-ABC 中对棱互相垂直，得 SBAC 。所以 SB平面 SAC ，从而该正三棱锥的三个顶角都是直角。将该三棱锥补成正方体，使S 成为正方体的一个顶点，则正三棱锥 S-ABC 的外接球也即是正方体的外接球，根据2R3 SA3 236 得， R=3，所以正三棱锥S-ABC 的外接球的表面积为 4 R 236，结果选（ B ）。点评 ：在例3 和例 4 的解题过程，反映了正方体问题求解中的“嵌”与“补”，是一种重要的解题技巧，体现了立体几何的较高的能力要求。用心爱心专心3