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1、点差法公式在高考中的应用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点） 坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”， 它的一般结论叫做点差法公式。本文就抛物线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。定理1在椭圆 x 2y21（a b0l与椭圆相交于MN两点，点 ）中，若直线、a 2b2P( x0
2、 , y0 ) 是弦 MN的中点，弦 MN所在的直线 l 的斜率为 kMN ，则 kMNy0b2.x0a2x12y121,(1)证明：设 M、N 两点的坐标分别为 (x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 )a 2b2，则有x2 2y221.(2)a 2b2(1)x12x2 2y1 2y2 20.(2) ，得a2b2y2y1y2y1b22 .x2x1x2x1a又 kMNy2y1 , y1y22 yy .x2x1x1x22xxyb2kMN2 .xa同理可证，在椭圆x 2y 21（ ab0）中，若直线l与椭圆相交于MN两点，、b2a 2点 P(x0 , y0 ) 是弦 MN的中点，弦 MN所在
3、的直线 l 的斜率为 kMN ，则 kMNy0a 2x0b2 .定理2 在双曲线 x 2y 21（ a 0， b 0）中，若直线 l 与双曲线相交于M、 N 两点，a 2b 2点P(x0 , y0 ) 是弦 MN的中点，弦 MN所在的直线 l 的斜率为 kMN ，则 k MNy0b2.x0a2x12y121,(1)( x1 ,y1 ) 、 (x2 , y2 ) ，则有a2b2证明：设 M、 N两点的坐标分别为x22y221.( 2)a2b 2(1)(2)x12x2 2y1 2y2 20.，得a2b2y2y1y2y1b2.x2x1x2x1a 2又 kMNy2y1y1y22 y0y0.x2x1,x
4、22 x0x0x1y0b 2kMNx0a2 .同理可证，在双曲线y 2x210b0l与双曲线相交于M N（ a ， ）中，若直线、a 2b 2两点，点 P( x0 , y0 ) 是弦 MN的中点，弦 MN所在的直线 l 的斜率为 k MN，则 kMNy0a 2.x0b 2定理 3在抛物线y22mx(m0) 中，若直线 l 与抛物线相交于M、 N 两点，点P( x0 , y0 ) 是弦 MN的中点，弦 MN所在的直线 l 的斜率为 kMN ，则 k MNy0m .证明：设 M、 N两点的坐标分别为( x1 , y1 ) 、 (x2 , y2 ) ，则有y122mx1 ,(1)y222mx2 .(
5、 2)(1)222m( x1 x2 ).(2) ，得 y1y2y2y1x2x1( y2y1 )2m.又 kMNy2y1 , y2 y1 2 y0 .x2x1kMN y0m .注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在 .同理可证，在抛物线x 22my( m 0) 中，若直线 l 与抛物线相交于M、 N 两点，点P( x0 , y0 ) 是弦 MN的中点，弦 MN所在的直线 l 的斜率为 kMN ，则1m .x0k MN注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零 .典题妙解例1（09年四川）已知椭圆x 2
6、y21（ a b ）的左、右焦点分别为F1 、 F2 ，a 2b20离心率 e2x2 .，右准线方程为2( )求椭圆的标准方程；( )过点 F1 的直线 l 与该椭圆相交于M、N 两点， 且 | F2 MF2 N |226 ，求直线 l3的方程 .解：（）根据题意，得ec2 ,a2xa22.ca2, b1, c 1.所求的椭圆方程为x 2y 21.2（）椭圆的焦点为F1 ( 1,0)、 F2 (1,0) .设直线 l 被椭圆所截的弦MN 的中点为P(x, y) .由平行四边形法则知：F2 MF2 N2F2 P .由 | F2M F2 N |226P |26得： | F2.33(x1) 2y 2
7、26 . 9若 直 线 l的 斜 率 不 存 在 ， 则 lx 轴 ， 这 时 点 P 与 F1 ( 1,0)重 合 ，| F2 MF2 N | | 2F2 F1 |4，与 相矛盾，故直 l 的斜率存在 .由 kMNyb2得：yy1 .x2ax1x2y 21( x 2x).21 ( x226 .代入，得 ( x1) 2x)29整理，得： 9x 245x170 .解之得： x172.3，或 x3由可知， x17不合 意 .231xy.，从而33ky1.x 1所求的直 l 方程 yx1 ，或 yx1 .例 2. 双曲 C 的中心在原点， 以抛物 y223x 4 的 点 双曲 的右焦点，抛物 的准
8、双曲 的右准 （） 求双曲 C 的方程；（） 直 l :y2x1与双曲 C 交于 A, B 两点，求 AB ；（） 于直 l : ykx1，是否存在 的 数 k ，使直 l 与双曲 C 的交点 A, B关于直 l : yax4 (a 常数 ) 称，若存在，求出 k ；若不存在， 明理由解：（）由 y 223x4 得 y 223(x2) ，3p3 ，抛物 的 点是(2,0) ，准 是 x321.32323c2,31 , b2在双曲 C中，.a 21.a221 .3c3双曲 C 的方程 3x 2y21.y2x1,得： x 24x20.（）由y 21.3x2设 A(x1 , y1 ), B(x2 ,
9、 y2 ) ， x1x24, x1 x22 .| AB |(1k 2 )( x1x2 ) 24x1 x2 (122 )(4) 2422 10 .（）假 存在 的 数k ，使直 l 与双曲 C 的交点 A, B 关于直 l 称， l 是 段AB 的垂直平分 .因而 a1，从而 l : y1 x4 . 段AB 的中点 kkP( x0 , y0 ) .由 k ABy0b2得： ky03 ，ky0 3x0 . x0a2x0由 y01x04 得：ky0x04k. 由、得： x0k, y03 .由 y0kx01得： 3k21， k2 .又由3x 2y 21, 得： (k 23)x 22kx2 0.ykx1
10、.直 l 与双曲 C 相交于 A、 B 两点，4k 28(k 23) 0，即 k 2 6，且 k 23.符合 意的 k 的 存在， k2 .例 3. （ 05 全国文22） A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) 两点在抛物 y2x2 上， l 是 AB的垂直平分线 .（）当且仅当 x1x2 取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F？证明你的结论 .（）当 x11, x23 时，求直线 l 的方程 .解：（）x 21 y，p1 , F (0, 1) .248设线段 AB的中点为 P( x0 , y0 ) ，直线 l 的斜率为 k ，则 x1x22x0 .若直线 l 的斜率不存在， 当且仅当
11、 x1x20时，AB 的垂直平分线 l 为 y 轴，经过抛物线的焦点 F.若直线 l 的斜率存在，则其方程为y k ( xx0 )y0 ， k AB1.k由 1x0p 得：kx01 ，x01.k AB44k若直线 l 经过焦点 F，则得： 1kx0y01y0 ， y01，与 y00 相矛盾 .844当直线 l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述，当且仅当xx20 时，直线l经过抛物线的焦点F.1（）当 x11, x23 时， A(1,2), B( 3,18), x0x1x2y1y210.21, y02由 1x0p 得： k1.k AB4所求的直线 l 的方程为 y1 (x 1)
12、10 ，即 x4 y410.4练习1. (05 湖北 ) 设 A、 B 是椭圆 3x 2y 2上的两点，点N (1,3) 是线段 AB的中点，线段 AB的垂直平分线与椭圆相交于C、 D 两点 .（ 1）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（ 2）略 .22. （ 02 江苏）设A、B 是双曲线x 2y1上两点，点N (1,2) 是线段 AB的中点 .2（ 1）求直线 AB 的方程；（ 2）如果线段 AB的垂直平分线与双曲线相交于 C、 D 两点，那么 A、 B、C、 D 四点是否共圆，为什么？3. (08 陕西理 20) 已知抛物线2C ： y2x，直线 y kx2 交C于、B两点，M是线段A
13、AB 的中点，过 M作 x 轴的垂线交 C 于点 N.（）证明：抛物线C 在点 N处的切线与 AB 平行；（）是否存在实数k 使 NA NB0 ，若存在，求 k 的值；若不存在，请说明理由参考答案1.解：（ 1）点 N (1,3) 在椭圆 3x2y 2内，31232 ，即12.的取值范围是(12,) .由 3x 2y 2得 y 2x21，a 2, b2，焦点在 y 轴上 .33若直线 AB 的斜率不存在，则直线ABx 轴，根据椭圆的对称性，线段AB 的中点 N 在 x轴上，不合题意，故直线AB的斜率存在 .由 k ABya2得： k AB3，kAB1.xb 213所求直线 AB的方程为 y31
14、 (x1) ，即 xy40 .从而线段 AB的垂直平分线CD的方程为 y31 ( x1)，即 x y20.2. 解：（1） a21, b22，焦点在 x 上.y0b2得： k AB22， k AB 1.由 k ABa2x0所求的直线AB 方程为（ 2）设直线 CD的方程为y21 ( x1) ，即 xy10 .xym0 ，点 N (1,2) 在直线 CD上，12 m0 ， m3.直线 CD的方程为 xy30 .yb 21 y2 ，即 y2x .又设弦 CD的中点为 M (x, y) ，由 kCDa 2得：xxxy 30,3, y6 .由得 xy2x.点 M的坐标为 ( 3,6) .xy10,又由
15、x2y2得 A(1,0), B(3,4) .1.2由两点间的距离公式可知：| MA | | MB | | MC | | MD | 2 10 .故 A、 B、 C、 D 四点到点 M的距离相等，即A、B、 C、 D 四点共圆 .8. （）证明： x21 y, mp1，设点 M的坐标为 (x0 , y0 ) .当 k024时，点 M在 y 轴上，点 N 与原点 O重合，抛物线 C在点 N 处的切线为 x 轴，与 AB平行 .当 k0时，由1x0p 得： x0k.kAB4yN2x02k 2. 得点 N 的坐标为 ( k , k2) .848设抛物线 C在点 N 处的切线方程为yk 2m( xk )
16、，即 y m( xk )k 2.8448代入 y2x2，得：2x2m(xkk 2，)84整理得： 2x 2mxkmk 20 .48m28( km k 2)m22kmk 2( mk) 20 ，48ymk ，即抛物线 C 在点 N处的切线的斜率等于直线AB的斜率 .A故抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB平行 .M（）解：若 NA NB0 ，则 NANB ，即ANB90 .| AB | 2 | AM | 2 | BM | 2 | MN |.BNOxy0 kx02k 284，| MN | y0yNk 28 k 2k 216 .488由ykx2,得 2x 2kx20 .y2x2 .设(,y1),(x2,y2)，则 x1x2k, x1x21.A x1B2| AB |(1k2)( x1x2 )24x1 x2(k2k 24)1(k21)(k216) .1)(241(k 21)(k 216)2k 216.即 (k 21)(k 216)(k 216) 2.284化简，得： k 21k 216，即 k 24.4k2.故存在实数 k2，使 NA NB0 .