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1、集合与函数中的创新题在考试中，会出现一些以考查同学们探究能力和创新能力为目的的“创新题” ，此类问题常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，为高层次思维创造了条件，是挖掘、提炼数学思想方法，充分展示应用数学思想方法的良好载体， 本文精选一些以集合与函数为背景的创新题型，并分类解析，旨在探索题型规律，供同学们参考。一、新定义型创新题新定义型信息题是指以已有知识为基础，并在此基础上进一步引申或定义新的情景，即给出一定量的新信息， 要求同学们根据新定义进行解题。新定义型信息题是试题改革的一个亮点，它能有效地考查学生独立获取信息、加工信息及继续学习的能力。例 1定义差集 A B x
2、| x A , 且 xB ，现有三个集合 A、 B、 C 分别用圆表示，则集合 CA B 可表示下列图中阴影部分的为（）分析：根据题设中的新定义， 从图形里挖掘解题的有关信息， 将图形语言向数学符号语言转化。解：根据题设中的新定义，可以得出集合 A-B 可表示如下图所示，再根据新定义可以看出集合 C-（ A-B ）表示为图 A 。故选 A 。点评：解决此类问题常分为三大步骤：（1）对新定义进行信息提取，确定化归的方向；（ 2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法； （ 3）对定义中提出的知识进行转换，有效地输出，其中对定义信息的提取和化归转化是解题的关键，也是解题的难点。二、结论开放型给
3、出多个结论，需要同学们对每个备选结论判断真伪，填写出满足条件的结论。x, xP,f ( x)M ，其中例 2函数x, xP， M为实数集 R 的两个非空子集，又规定f (P) y | yf (x ), x P ， f ( M ) y | yf (x ), xM ，给出下列四个判断：若 PM，则 f ( P)f (M )；若 PM，则 f ( P)f (M )；若 PMR, 则f (P)f ( M )R ；若 PMR ，则 f (P)f ( M )R 。其中正确判断有 _。（将所有正确的序号填在空格内）解析：取特殊集合，若令P 1, 2 ， M 1,2 ， PM，而 f (P)1, 2 ，f (
4、M ) 1, 2 ，有 f ( P)f (M ) ，故不正确；若令 P x | x 0,M x | x 0 有 PMR ，而 f (P)f (M ) 0, ，故不正确。只有正确，故填。点评：结论开放型创新问题， 结论是不确定或不唯一的， 解题时要注意运用相应的解题策略，如举反例、特殊值法、 排除法、等价转化、数形结合等。直觉、联想、较好的洞察力，有助于解决开放型创新题。三、存在型创新题对于结论没有明确给出，常常以“是否存在” ，“是否有”的形式进行设问，结论有待判断的这类问题称之为是否存在型开放性创新题。例 3已知二次函数 f ( x )ax 2bxc ，若 ab c 且 f(1) 0 ，是否
5、存在实数m，使得 f ( m) =a 成立时， f (m 3) 为正数？若存在， 则证明你的结论； 若不存在， 则说明理由。解：由 f (1)abc =0 及 abc 有 a0 ， c0 。c又 1 是 f (x )0 的一个根，记另一个根为0 ，则a。c0而 abc ， bac ，所以 aac2ac ，即2a。假设存在实数m，使 f (m)a 成立，cf ( x)a xc则由 a ， 1 是 f ( x)x 10 的两个根，有a。f (m)cm1a0a m从而a。cm1c3m3所以 a，从而 a，c2c3 1c31因为 am 3，即 a，所以a。又因为 a0， 1 是 f(x )0 的一个大根，所以f ( x) 在 1,) 上单调递增。所以 f (m3)f (1)0 ，即满足条件的实数m 存在。点评：解此类问题的常用方法是先对结论作肯定存在假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行探索，由探索结果是否出现矛盾来作出正确的判断。