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1、第5讲空间中的垂直关系随堂演练巩固1. 直线 l 不垂直于平面则内与 l 垂直的直线有 ( )A.0 条B.1 条C. 无数条D.内所有直线【答案】 C【解析】可以有无数条 .2. 设 m、 n是两条不同的直线是三个不同的平面, 给出下列四个命题 , 其中正确命题的序号是 ()若mn 则m n; 若 m则m; 若 n 则 ;mm n若则 .A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】 A3. PA垂直于正方形 ABCD所在平面 , 连接 PB, PC, PD,AC, BD, 则下列垂直关系正确的是 ( )平面 PAB平面 PBC 平面 PAB平面 PAD 平面 PAB平面 PCD 平面 PAB平面
2、 PACA. B. C. D. 【答案】 A【解析】易证BC平面, 则平面PAB平面,PABPBC又 AD BC, 故 AD平面 PAB, 则平面 PAD平面 PAB,因此选 A.4. 如图 , 三棱锥 P- ABC中 PA平面 ABCBAC90, PA=AB, 则直线 PB与平面 ABC所成的角是( )A.90B.60C.45D.30【答案】 C【解析】PA平面 ABC, PB在平面 ABC上的射影是 AB. PBA 是直线 PB与平面 ABC所成的角 .又在 PAB中BAP90, PA=AB, PBA 45 .直线 与平面所成的角是 45 .PBABC课后作业夯基1. 设 、是两个不同的平
3、面, l 是一条直线 , 以下命题正确的是 ()A. 若 l则 lB. 若 l则 lC. 若 l 则 lD. 若 l 则 l【答案】 B或 l【解析】对于选项 A、 C, 可能 l 所以 A、C均不正确 . 对于选项 D, 可能 l 所以 D不正确 .用心爱心专心12. 命题 (1)”直线 l垂直于平面内的无数条直线 , 则 l”, 命题 (2) ”若 l则直线 l 垂直于平面内的无数条直线” , 则 ( )A.(1)是真命题 ,(2)是真命题B.(1)是真命题 ,(2)是假命题C.(1)是假命题 ,(2)是真命题D.(1)是假命题 ,(2)是假命题【答案】 C斜交 ; 反之若 l【解析】直线
4、 l 垂直于平面内的无数条直线 , 则 l 有可能与则直线 l 垂直于平面内的无数条直线 .”是” m”的3. 已知表示两个不同的平面, m为平面内的一条直线, 则”( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】 Bm则【解析】由平面与平面垂直的判定定理知, 如果 m为平面内的一条直线反过来则不一定 , 所以”是” m”的必要不充分条件 .4. 如图 , 已知六棱锥 -的底面是正六边形PA平面, =2, 则下列结论正确的是P ABCDEFABCPA AB()A. PBADB. 平面PAB平面 PBCC. 直线平面PAEBCD. 直线 D与平面所成
5、的角为 45PABC【答案】 D【解析】与 在平面内的射影不垂直 , A不成立 ; 又平面PAB平面, 平面PABADPBABCABPAE平面 PBC也不成立 ; BC AD, BC平面 PAD.直线 BC平面 PAE也不成立 .在 Rt 中 ,= =2 , PDA 45. D正确 .PADPA AD AB5. 一直线和平面所成的角为3则这条直线和平面内的直线所成角的取值范围是()A. (0)B. 32 3C. D. 333【答案】 B【解析】 由最小角定理 ,知这条直线和平面内的直线所成角中最小角为3最大角是当斜线与平面 内的一条直线垂直时所成的角, 它为 .6. 已知 A(-1,2,7),
6、B(-3,-10,-9),2()则线段中点关于原点对称的点的坐标是AB用心爱心专心2A.(4,8,2)B.(4,2,8)C.(4,2,1)D.(2,4,1)【答案】 D【解析】线段的中点 M的坐标是(1 32 10 79) 即 M(-2,-4,-1),AB222 M关于原点对称的点为 (2,4,1).7. 正 方 体 ABCD- A1 B1C1D1 中 ,M 、 N分 别 是 棱 AA1 和 AB上 的 点 , 若B1MN 是 直 角 , 则C1 MN.【答案】 90【解析】在正方体中C1 B1平面 ABB1 A1而 MN 平面 ABB1 A1 C1B1 MN .又B1MN 是直角 , 即 M
7、NMB1而 MB1 C1 B1 B1 MN 平面 MB1C1 . MNMC1 即C1MN90 .8. 、是两个不同的平面, m、n是平面及之外的两条不同直线, 给出四个论断 : mn ; n; m. 以其中三个论断作为条件, 余下一个论断作为结论 , 写出你认为正确的一个命题为.【答案】 ( 或 )【解析】根据线面、面面垂直的定义、判定定理和性质可知,正确的有或.9. 球 与正方体-A1B1C1 D1各面都相切是球 上一动点与平面所成的角为则OABCD, PO, APABCD最大时 , 其正切值为.【答案】 2 2【解析】过正方体的对角面ACC1 A1 作截面 , 如图所示 ,M、 N为切点
8、, 当 AP与平面 ABCD所成的角最大时, AP为圆 O的切线 .设正方体的棱长为2,则 OM 1 AM2 tan OAM2tantan 2 OAM2tanOAM2 2 .21 tan2OAM10. 设 、 、 为彼此不重合的三个平面 , l 为直线 , 给出下列命题 :若则;若且l 则 l;若直线 l 与平面内的无数条直线垂直, 则直线 l 与平面垂直 ;若内存在不共线的三点到的距离相等 , 则平面平行于平面.上面命题中 , 真命题的序号为.(写出所有真命题的序号)【答案】用心爱心专心3【解析】由题可知中无数条直线不能认定为任意一条直线, 所以错 , 中的不共线的三点有可能是在平面的两侧
9、, 所以两个平面可能相交也可能平行,故填 .11. 如图所示 , 在长方体-2 E 是侧棱 BB1 的中点 .ABCDA1B1C1 D1 中 AB BC 1 AA1(1) 求证 : A1 E平面 ADE;(2) 求三棱锥 A1- ADE的体积 .【解】 (1) 证明 : 由勾股定理知 :A1E1 12 AE 1 12则 A1A2A1E 2AE 2 A1E AE . AD 平面 AA1 B1 B A1E 平面 AA1B1B A1E AD .而 ADAEA A1E平面 ADE.(2) S AA1E1221211 1 1=1 . VA ADEVD A AES AA EAD11313312.(2012
10、山 东 临沂 沂 水 ) 在 直 平 行 六面 体 AC1中 ,四 边 形 ABCD是 菱 形 ，DAB60ACBDO ABAA1 .(1) 求证 : C1O 平面 AB1D1 ;(2) 求证 : 平面 AB1 D1 平面 ACC1 A1 .【证明】 (1) 连接 A1C1 交 B1D1 于 O1 连接 AO1 .用心爱心专心4在平行四边形AAC C 中 C O AO C OAO111111四边形 AOC1O1 为平行四边形 . C1O AO1 . C1O 平面 AB1D1 AO1 平面 AB1D1 C1O 平面 AB1D1 .(2) 在直平行六面体 AC1 中 A1 A 平面 A1 B1C1
11、D1 A1A B1 D1 .四边形A1 B1C1D1 为菱形 , B1 D1A1C1 . ACAAA AC平面 ACC AAA平面 ACC A11111111111 B1D1平面 ACC1 A1 . B1D1 平面 AB1D1平面 AB1D1平面 ACC1 A1 .13. 如 图 , 在 四 棱 锥-中 , 是 等 边 三 角 形 , 侧 面A D E底 面,E ABCDADEABCDABDC, BD=2DC=4, AD=3, AB=5.(1) 若 F是EC上任一点 , 求证 : 平面 BDF平面 ADE;(2) 求三棱锥 C- BDE的体积 .【解】 (1) 证明 : 在 ABD中 , BD
12、=4, AD=3, AB=5, AB2 AD 2 BD 2 . BD AD .又平面 ADE平面 ABCD,平面 ADE平面 ABCD=AD, BD平面 ADE. BD 平面 BDF,平面BDF平面.ADE为等边三角形得 EH AD(2) 取的中点 H, 连接 H, 由ADEADE平面ADE平面, EH平面.ABCDABCD VC -BDEVE -BCD1 S BCDEH .3用心爱心专心5又在ADE中EH33在中,边上的高为3412255 .ABDAB S BCDS梯形 ABCDS ABD1(25)1213412 .2525 VC -BDE1123363.3525三棱锥 C- BDE的体积为
13、 6 3 .5拓展延伸14. 如图 , 在棱长为 2的正方体 ABCD- A1B1C1 D1 中 , E、 F分别为 DD1 、 DB的中点 .(1) 求证 : EF平面 ABC1D1 ;(2) 求证 : EF B1C ;(3) 求三棱锥 B1- EFC的体积 .【解】 (1) 证明 : 连接 BD1 在 DD1 B 中, E、 F分别为 D1 D 、DB的中点 , 则 EF D1B .又 EF 平面 ABC1 D1 D1 B 平面 ABC1D1 EF平面 ABC1 D1 .(2) 证明 : 由题易得 B1C AB B1C BC1 AB BC1 B B1C 平面 ABC1 D1 . 又 BD1 平面 ABC1D1 B1C BD1 .又 EF BD1 EF B1C .(3) CFBD CFBB1BDBB1B CF平面 BDD 1 B1即 CF平面 EFB1 .又易得 CFBF2 BD123 EF1BD13 .2 B1FBF 2BB12( 2) 2226 B1 EB1 D12D1 E 212(2 2) 23 EF 2B1 F 2B1E 2故EFB190,S B EF1 EF B1F13 63 21222 VB -EFCVC- B EF1 S B EFCF13 22 1 .113132用心爱心专心6