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1、立体几何中的探索问题一、探索点的位置例 1. 如图，四棱锥 PABCD中， PD平面 ABCD，底面 ABCD为矩形， PD=DC=4，AD=2， E 为 PC的中点 ,在线段 AC上是否存在一点M ，使得 PA/ 平面 EDM，若存在，求出 AM的长；若不存在，请说明理由 .解：取 AC中点 M，连结 EM、DM，因为 E 为 PC的中点， M是 AC的中点，所以 EM/PA，又因为 EM 平面 EDM， PA 平面 EDM，所以 PA/ 平面 EDM 所以 AM1 AC5.2即在 AC边上存在一点 M，使得 PA/ 平面 EDM， AM的长为 5 .例 2. 如图，三棱柱 ABC A1B1
2、C1 中， AA1 面 ABC ， BCAC, BCAC 2 ，AA13 ， D 为 AC 的中点 ,BB（2）求二面角 C1 BD C 的余弦值；1（3）在侧棱 AA1 上是否存在点 P ，使得CCD1ACP面 BDC 1 ？请证明你的结论 .A1解：（ 1）解：如图，建立空间直角坐标系，Bz则 C1（ 0， 0， 0）， B（ 0， 3， 2），1C （ 0， 3， 0）， A（ 2，3， 0），D（ 1， 3， 0），CC1 B(0,3,2), C1D(1,3,0)D设 n ( x1 , y1, z1)1AA是面 BDC的一个法向量，则xn C1B0,3y12z10,即x13 y1，n
3、C1D 00取n (1,11)，易知 C C(0,3,0) 是面 ABC的一个法向量 .,213BCy用心爱心专心- 1 -n C1C2cos n,C1C7 .n C1C二面角 C1 BDC 的余弦值为2 .7（ 2）假设侧棱AA1 上存在一点P 使得 CP面 BDC1.设 P（2， y， 0）（ 0 y3），则 CP(2, y 3,0) ，CP C1 B0,3( y3)0,则，即2 3( y3).CP C1D00y3,解之y7 方程组无解 .3侧棱 AA1 上不存在点 P，使 CP面 BDC1.二、探索结论的存在性例 3. 如图，已知三棱锥 PABC 中， PAPC ， D 为 AB 中点，
4、 M 为 PB 的中点， 且 AB 2PD （ 1）求证： DM 面PAC ；（ 2）找出三棱锥 P ABC 中一组面与面垂直的位置关系，并给出证明（只需找到一组即可）（ 1）证明：依题意 D 为 AB 的中点， M为 PB 的中点 DM / PA又,（ 2）平面 PAC 平面 PBC ( 或平面 PAB 平面 PBC)证明：由已知 AB 2PD，又 D 为 AB的中点所以 PDBD又知 M为 PB的中点，由（ 1）知 DM / PA又由已知，且故平面 PAC平面 PBC。用心爱心专心- 2 -例 4. 已知一四棱锥P ABCD的三视图如下，E 是侧棱 PC上的动点，是否不论点E 在何位置，都
5、有BDAE？证明你的结论。PDE221C111正视图侧视图俯视图AB解：不论点 E 在何位置，都有BDAE。证明如下：连结AC， ABCD是正方形 BD AC PC底面 ABCD 且 BD平面 ABCD BD PC-又 ACPCC BD平面 PAC不论点E 在何位置，都有AE平面 PAC不论点E 在何位置，都有BD AE三、针对性练习1. 四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是矩形， PA 底面 ABCD， PA= AB =1， AD =2， 点M是 PB 的中点，点 N在 BC边上移动证明，无论N 点在 BC边上何处，都有PNAM.证明：PAAB1 ， M 是 PB 的中点，AMPB .又
6、 PA 平面 ABCD ， BC 平面 ABCD ，PABC .P又 BC AB ， PA AB A ，BC平面 PAB .M又 AM 平面 PAB ,AMBC .AEBAM平面 PBC .N又 PN平面 PBC ，PNAM .DC所以无论 N点在 BC 边的何处，都有 PNAM .用心爱心专心- 3 -2. 在四棱锥P- ABCD 中，底面ABCD 是菱形，AC BD = O , 在棱 PC 上是否存在点M （异于点C ）使得 BM 平面PAD ，若存在，求PM 的值；若不存在，说明理由 .PC解：不存在 .下面用反证法说明.假设存在点 M （异于点 C ）使得 BM 平面 PAD .在菱形
7、 ABCD 中， BC AD ，因为AD 平面 PAD ， BC ? 平面 PAD ，所以BC 平面 PAD .因为BM 平面 PBC ， BC 平面 PBC ，PDMOACBBCBM = B ，所以 平面 PBC 平面 PAD .而平面 PBC 与平面 PAD 相交，矛盾 .3. 如图，三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1平面 ABC， AA1 6，AC 3，AB 2，BC 1，D 是棱 CC1 的中点 ,在棱 AB 上是否存在一点E，使DE平面 AB1C1？证明你的结论；解 : 当点 E为棱 AB的中点时， DE平面 AB1C1.证明如下：取 BB1 的中点 F，连接 EF， FD，
8、 DE. E、F 分别为 AB、 BB1 的中点， EF AB1. AB1? 平面 AB1C1，EF?平面 AB1C1， EF平面 AB1C1.同理可证 FD平面 AB1C1. EF FD F，平面 EFD平面 AB1C1. DE? 平面 EFD， DE平面 AB1C1.4 错误！未指定书签。 如图，四棱锥SABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2 倍， P 为侧棱 SD 上的点。S（1）求证： ACSD ；（2）若 SD 平面 PAC ，求二面角 PAC D 的大小；P（3）在（ 2）的条件下，侧棱 SC 上是否存在一点 E ，DA使得 BE / / 平面 PAC 。若存在，求
9、SE : EC 的值；BC用心爱心专心- 4 -若不存在，试说明理由。错误！未找到引用源。解法一：（1）；连 BD , 设 AC 交于 BD 于 O ，由题意知 SO平面 ABCD . 以 O为坐标原点，OB，OC，OS 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向，建立坐标系O xyz 如图。设底面边长为a ，则高 SO6 a 。2于是 S(0,0,6 a), D (2 a,0,0) ， C (0,2 a,0) ， OC(0,2 a,0)2222则 SD(2 a,0,6 a)22OC SD0 ，故 OCSD ,从而 ACSD(2) 由题设知，平面PAC 的一个法向量 DS (2 a,0,6 a)
10、 ，平面 DAC 的一个法向22量 OS )0,0,6 a) ，设所求二面角为，则 cosOSDS3,2OS DS2所求二面角的大小为300（3）在棱 SC 上存在一点E 使 BE / 平面 PAC . 由（ 2）知 DS 是平面 PAC 的一个法向量，且 DS （ 2 a,0,6 a),CS(0,2 a,6 a)2222设 CE tCS,则 BE BC CEBCtCS(2 a,2 a(1 t ),6 at )222而 BE DC01即当 SE: EC2:1 时， BE DSt3而 BE 不在平面 PAC 内，故 BE / 平面 PAC解法二：（ 1）连 BD，设 AC交 BD于 O，由题意
11、SOAC 。在正方形 ABCD中，ACBD ，所以 AC平面 SBD , 得 ACSD .(2)设正方形边长a ，则 SD2a。用心爱心专心- 5 -又 OD2 a ，所以SOD 600 ,2连 OP ，由（）知 AC平面 SBD , 所以 ACOP ,且 AC OD , 所以 POD 是二面角 P ACD 的平面角。由 SD平面 PAC , 知 SDOP , 所以POD300 ,即二面角 PACD 的大小为 300 。(3）在棱 SC上存在一点E，使 BE / 平面 PAC由（ 2）可得 PD2 a ，故可在 SP 上取一点 N , 使 PN PD ,4过 N 作 PC 的平行线与 SC 的交点即为 E 。连 BN。在 BDN 中知 BN / PO ，又由于 NE / PC ,故平面 BEN / 平面 PAC ，得 BE / 平面 PAC ,由于 SN： NP21：, 故 SE： EC21：.用心爱心专心- 6 -