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1、名校名 推荐提升训练（ 60）二项分布、正态分布及其应用一、选择题1.(2016 烟台模拟) 已知随机变量X 服从正态分布N(3,1),且P(2 X 4)=0.6826,则P(X4)=()A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585【解析】选B. 因为 X N(3,1),所以正态分布曲线关于 =3 对称 , 所以 P(X3)=0.5,又 P(2 X 4)=0.6826,所以 P(X4)=0.5-P(2 X 4)=0.5- 0.6826=0.1587.2.(2016 南昌模拟) 在正态分布N中 , 数值落在(- ,-1) (1,+ ) 内的概率为()A.0.097B.0.04
2、6C.0.03D.0.0026【解析】选D. 因为 =0, = , 所以 P(X1)=1-P(-1 X 1)=1-P( -3 X +3 )=1-0.9974=0.0026.3. 一个电路如图所示,A,B,C,D,E,F为 6 个开关 , 其闭合的概率都是, 且是相互独立的, 则灯亮的概率是()A.B.C.D.【解析】选B. 设 A 与 B 中至少有一个不闭合的事件为T,E 与 F 中至少有一个不闭合的事件为 R, 则 P(T)=P(R)=1- = , 所以灯亮的概率P=1-P(T)P(R)P()P()=.4.在如图所示的正方形中随机投掷10 000 个点，则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布
3、N( 1,1)的密度曲线 )的点的个数的估计值为()2(附：若 X N(， )，则 P(X ) 0.682 6， P( 2X 2) 0.954 4)1名校名 推荐A 1 193B 1 359C 2 718D 3 413解析： 对于正态分布 N(1,1)， 1， 1，正态曲线关于x 1对称，故题图中阴影部分的面积为 1 P( 3 X1) P( 2 X0) 1 P( 2 X 2 ) P( X0)，若 在 (80， 120)内的概率为0.8，则落在 (0， 80)内的概率为 ()A 0.05B 0.1C 0.15D 0.2答案B解析 服从正态分布 N(100 ， 2)，曲线的对称轴是直线 100，在
4、 (80，120) 内取值的概率为 0.8，在 (0， 100) 内取值的概率为 0.5，在 (0， 80)内取值的概率为0.5 0.4 0.1.故选 B.6 (2017 河南安阳专项训练 )已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116 ，64)，则成绩在140 分以上的考生所占的百分比为()A 0.3B 0.23C 1.5D 0.15答案D解析依题意，得 116， 8，所以 3 92， 3 140.而服从正态分布的随机变量在 ( 3， 3)内取值的概率约为0.997，所以成绩在区间(92，140)内的考生所占的百分比约为99.7 .从而成绩在140 分以上的考生所占的百分比为1 99.7%
5、0.15 .故选 D.27(2018 云南大理统测 )2016 年 1 月某高三年级1 600 名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩 X N(100 ，2)(试卷满分150 分 )统计结果显示数学考试成绩在80 分到120 分之间的人数约为总人数的3，则此次统考中成绩不低于120 分的学生人数约为 ()4A 80B 100C 120D 200答案D解析正态曲线的对称轴为X 100，根据其对称性可知，成绩不低于120 分的学生人数约为 1 600 (1 34) 12 200.2名校名 推荐二、填空题8. 周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估计做对第一道题的概率为0.8
6、0 ，做对两道题的概率为0.60 ，则预估计做对第二道题的概率为答案： 0.75解析：记做对第一道题为事件A，做对第二道题为事件B，则 P(A) 0.80 ，P(AB) 0.60 ，因为做对第一道、第二道题这两个事件是相互独立的，所以P(AB) P(A)P(B) ，即 P(B) P（ AB） 0.60P（ A） 0.80 0.75.9. 已知盒中装有 3 个红球、 2 个白球、 5 个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为答案： 1321解析：事件 A：“第一次拿到白球”，事件B：“第二次拿到红球”，则P(A) 1
7、0 5，2 3 1P（ AB） 1P(AB) 10 9 15，故 P(B|A) P（ A） 3.110.设随机变量 X B 6， 2，则 P(X 3) 5答案： 166，131 3135解析： X B2 ，由二项分布可得，621P(X 3) C216.11袋中有三个白球，两个黑球，现每次摸出一个球，不放回地摸取两次，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率为解析： 记事件 A 为“ 第一次摸到黑球 ” ，事件 B 为 “第二次摸到白球 ”，则事件 AB 为 “ 第一次摸到黑球、第二次摸到白球” ，依题意知P(A) 2， P(AB) 23 3 ， 在第一次摸55410到黑球的条件下，第二
8、次摸到白球的概率是P(B|A)P AB3P A .4答案： 34三、解答题12一次研究性学习有“整理数据”“撰写报告”两项任务，两项任务无先后顺序， 每项任务的完成相互独立，互不影响 某班有甲、乙两个小组参加这次研究性学习根据以往资料统计，甲小组完成研究性学习两项任务的概率都为1，乙小组完成研究性学习两项任务的概2率都为 q.若在一次研究性学习中， 两个小组完成任务项数相等，而且两个小组完成的任务都不少于一项，则称该班为“和谐研究班”(1) 若 q2，求在一次研究性学习中，已知甲小组完成两项任务的条件下，该班荣获“和谐3研究班”的概率；(2) 设在完成 4 次研究性学习中该班获得“和谐研究班”
9、的次数为，若 的数学期望E() 1，3名校名 推荐求 q 的取值范围解析： (1)设 “ 甲小组完成两项任务”为事件 A， “ 该班荣获 和谐研究班 ” 为事件 B，P(A) 12 1， P(AB)1 22 21.242394P(B|A) 9.(2) 该班在一次研究性学习中荣获“ 和谐研究班 ” 的概率为11 111 12 q3222 2C2q(1 q)2 2q4q .P CB(4， P)， E( )4P.3 2由 E( )1 知 q4q 4 1，1解得 q 1.13设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立(1) 求
10、同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望解析： 设 A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i 0,1,2，B 表示事件：甲需使用设备，C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备(1) D A1BC A2B A2 B C，P(B) 0.6， P(C) 0.4，i2P(Ai) C20.5 ， i 0,1,2，所以 P(D) P(A1BC A2B A2 B C)P(A 1BC) P(A2B)P(A2 B C) P(A1)P(B)P(C) P(A2)P(B) P(A2)P( B )P(C) 0.3
11、1.(2) X 的可能取值为0,1, 2,3,4，则有P(X 0) P( B A0 C ) P( B )P(A0)P( C ) (1 0.6) 0.52 (1 0.4) 0.06， P(X 1) P(BA0 C B A0C B A1 C )P(B)P(A0)P( C ) P( B ) P( A0 )P(C) P( B )P(A1)P( C )0.6 0.52 (10.4) (1 0.6) 0.520.4 (1 0.6)2 0.52 (1 0.4) 0.25，P(X 4) P(A2 BC) P( A2)P(B)P(C) 0.52 0.6 0.4 0.06，4名校名 推荐P(X 3) P(D) P(X 4) 0.25，P(X 2) 1P(X 0) P(X 1) P(X 3) P(X 4) 1 0.06 0.25 0.25 0.06 0.38，X 的分布列为X01234P0.060.250.380.250.06数学期望 E(X) 0 P(X 0) 1P(X 1) 2 P(X2) 3 P(X 3) 4 P(X 4) 0.25 2 0.38 3 0.25 4 0.062.5