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1、附加题矩阵1（ 2010 南通二模）cossinB（ 2，2），若点 A（ 2，2）在矩 Mcos 的作用下得到的点 sin求矩 M 的逆矩 222cos2sin2解： M2，即2cos，422sin2分所以 cossin1,解得 cos0, 6sincos1.sin1.分所以 M01 由 M 1 M10，得 M 101 10100110分另解： M001 10 ， M 1 01110另解： M01cos90sin 90O逆 旋 90旋 矩 ，10sin 90，看作 原点cos90于是 M1cos( 90 )sin( 90 )01sin( 90 )cos( 90 )102（ 2010 苏锡常二
2、模）31，求 A 的特征 已知矩 A =1，2 及 的特征向量011, 2解：矩 A 的特征多 式 f ( ) =31= (3)( 1)，2 分01令 f ( ) =0，得到矩 A的特征 1=3 ，=14分2当31xx，得3xy3 x,， y0 ，取x 1，得到属于特征 31 ，由=3=31yy3y0y的一个特征向量1=；7 分10当231x=x ，得 3xyx, ，取， y4 ，得到属于特征=1x 1 ，由1yyyy01 10 分值1的一个特征向量 2=43（ 2010 苏北四市二模）20，求矩 M 的特征 及其相 的特征向量已知矩 M =11矩 M 的特征多 式 f ()2023 2，分1
3、1令 f () 0 ，解得11,22 ，分（）0 y0,将 11 代入二元一次方程 - 2 x解得 x0 ，分x(1)y0,所以矩 M 属于特征 0；分1 的一个特征向量 1同理，矩 M 属于特征 2 的一个特征向量 1 10 分1极坐标与参数方程1（ 2010 南通二模）已知极坐 系的极点O 与直角坐 系的原点重合， 极 与 x 的正半 重合， 曲 C1：cos()2 2 与曲 C2： x4t 2 , （ t R ）交于 A、 B 两点求 ： OA OB4y4t解：曲 C1 的直角坐 方程xy4 ，曲 C2 的直角坐 方程是抛物 y24x ， 4分设 A( x1 , y1 ) ， B( x2
4、 , y2 ) ，将 两个方程 立，消去x ，得 y24y 160y1 y216， y1y2 4 6分x1 x2y1 y2( y14)( y24)y1 y22 y1 y24( y1 y2 ) 160 8分uuur uuur0 ，OAOB OA OB2（ 2010 苏锡常二模）223tx ，t 参数，求曲 C 的参数方程 解：将 y tx已知曲 C 的方程 y3 x2x ， y代入 y23x22x3 ，得 t2x23x22x3 ，即 2 x3(3 t 2 )x2 4 分当 x=0 ， y=0；当 x0 ，x3 t 26 分23从而 y3tt 8 分23 t2x ,原点 (0,0) 也 足2，y3
5、tt 32x3t2,曲 C 的参数方程 2（ t 参数）10 分y3tt323（ 2010 苏北四市二模）在极坐 系中，直 l 的极坐 方程 3R，以极点 原点，极 x 的正x2cos ,C 的参数方程 半 建立平面直角坐 系，曲 y1（ 参数），求直 l 与cos2曲 C 的交点 P 的直角坐 .因 直 l 的极坐 方程 3R所以直 l 的普通方程 y3x ，分又因 曲 C 的参数方程 x2cos,y1（ 参数）cos2所以曲 C 的直角坐 方程 y1 x2x2,2， 分2 立解方程 得x0, 或x23, ，分y0,y6根据 x 的范 舍去x23, , 故 P 点的直角坐 (0,0) 10
6、分y6随机变量的概率1（ 2010 南通二模）一个暗箱中有形状和大小完全相同的3 只白球与2 只黑球，每次从中取出一只球，取到 球得 2 分，取到黑球得3 分甲从暗箱中有放回地依次取出3 只球（ 1）写出甲 得分 的分布列；（ 2）求甲 得分 的期望 E（）解：（ 1）甲 得分情况有6 分， 7 分， 8 分， 9 分四种可能， 甲 得分3327232154，P(6)5125 ， P( 7 ) C355125223623P(8)23， P( 9)8 4 分C355125512567892754368P（ ）125125125125x7分（ 2）甲 得分的期望（）275436836 10分678
7、9E12551251251252（ 2010 苏锡常二模）一个袋中装有黑球，白球和 球共n( nN* )个， 些球除 色外完全相同已知从袋中任意摸出1 个球，得到黑球的概率是2 从袋中任意摸出 2 个球5（ 1）若 n=15，且摸出的2 个球中至少有1 个白球的概率是4 ， 表示摸出的 2 个球7中 球的个数 , 求随机 量的概率分布及数学期望E；（ 2）当 n 取何 ，摸出的2 个球中至少有1 个黑球的概率最大，最大概率 多少?解：（ 1） 袋中黑球的个数 x (个 ) ， “从袋中任意摸出一个球，得到黑球” 事件 A，则 P ( A)x2 155 x 6 1 分 袋中白球的个数 y (个
8、) ， “从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球” 事件 B， P(B)1C152y4，C1527 y229y 1200， y5 或 y24 (舍 ) 球的个数 15654(个 ) 3 分随机 量的取 0，1， 2，分布列是012P114422110535的数学期望 E1104412256 6 分2110535105（ 2） 袋中有黑球z 个， z25,10,15,）n(n5 “从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球” 事件C，C321661n则 P(C ) 15，8 分Cn22525n 13（ 2010 苏北四市二模）当 n 5 ， P(C) 最大，最大 7 10某 台 道 的 关游 ，游
9、定前两关至少 一关才有 格 第三关， 关者 第一关成功得 3 分， 第二关成功得3 分， 第三关成功得4 分 有一位参加游 者 独 第一关、第二关、第三关成功的概率分 1 、 1 、 1 ， 参加者 三关所得 分 234（ 1）求 参加者有 格 第三关的概率；（ 2）求 的分布列和数学期望 参加者 独 第一关、第二关、第三关成功的概率分 p11、 p21、 p3123，A 4 参加者有 格 第三关 事件则 P( A)p1 (1p2 )(1 p1 ) p2p1 p22 ；4分3(2) 由 意可知，的可能取 0 、 3 、 6 、 7、10，P(0)(1p1 )(1p2 )1，3113P(3)p1
10、 (1p2 )(1p3 )(1p1 ) p2 (1p3 )48，18P(6) p1 p2 (1 p3 )，81111P(7)p1 (1p2 ) p3(1p1 ) p2 p3P(10)p1 p2 p312248，24所以的分布列 036710p131113888248分所以的数学期望 E013 36 17 11013110分3888246空间坐标系1（ 2010 苏锡常二模）如 ，在直三棱柱ABC A1 B1 C1中， BAC90o ，AB=AC=a，AA1b ，点 E，F 分 在棱 BB1 ，CC1 上，且 BE1BB1 ， C1 F1CC1 b 33a（ 1）当 =3 ，求异面直 AE 与
11、A1 F 所成角的大小；（ 2）当平面 AEF 平面 A1 EF ，求的 解：建立如 所示的空 直角坐 系Axyz （ 1） a=1， AB=AC=1 ， AA1 3，各点的坐 A(0,0,0) , E(1,0,1) ， A1 (0,0,3)， F (0,1,2) uuuruuuur 2 分AE(1,0,1)， A1 F(0,1, 1)uuuruuuur,uuuruuuurAEA1 F2AE11，A Fuur uuruuuruuuur11 cosAEA1 FAE , A1FuuuruuuurAEA1 F222uuuruuuur120o ，向量 AE 和 A1 F 所成的角 异面直 AE 与 A
12、1 F 所成角 600 4 分（ 2） E (a,0, b) ， F (0,a , 2b ) ，33uuurbuuur2b AE(a ,0,), AF(0, a, ) 33 平面 AEF 的法向量 n1 (x, y, z) ，uuuruuur则 n1AE0 ，且 n1AF0 zA1C1B 1FEAyCBx（第 22 ）bz0 ，且 ay2bz0 即 ax33令 z1 ， xb, y2b3a3a n1b,2b,1) = (,2,1) 是平面 AEF 的一个法向量 6 分(3a3a33同理， n2(2bb2,1)是平面 A1 EF 的一个法向量 8 分,3a,1)= (3a33平面 AEF 平面
13、A1 EF ，22 n1 n20 220 919解得，3 2当平面 AEF 平面 A1 EF ，3 10 分2数学归纳法1（ 2010 南通二模） 数列 an 足 a1 a， an 1an2 a1， MaR nN* ，| an | 2 （ 1）当 a（， 2） ，求 ： a M ；（ 2）当 a（ 0， 1 ，求 ： a M；4（ 3）当 a（ 1 ，） ，判断元素a 与集合 M 的关系，并 明你的 4 明：（ 1）如果 a2， a1 | a |2， aM 2分（ 2） 当 0a 1 ， an 1 （ n 1）42事 上，当 n 1 ， a1a 1 2设 n k1 成立（ k 2 某整数），2
14、 nk ， ak ak2a 111 1242由 假 ， 任意n N* ， |a1 2，所以 a M6n|2分1 ， aM 明如下：（ 3） 当 a4 于任意 n 1， ana1 ，且 an1an2a 4 于任意 n 1， an 1 anan2ana(an1 )2a1 a1 ，244则 an 1an a1 4所以， an 1aan 1a1 n (a1 ) 42a ， an1 n(a1a a 2 ，即 an 1 2 ，因此 aM 当 n1) a 2a4410 分直线与抛物线1（ 2010 苏北四市二模）如 ，已知抛物 M : x24 py ( p 0) 的准 l ， N 为 l 上的一个 点， 点
15、N 作抛物线 M 的两条切 ，切点分 A ， B ，再分 A ， B 两点作 l 的垂 ，垂足分 C ，D （ 1）求 ：直 AB 必 y 上的一个定点 Q ，并写出点 Q 的坐 ；（2）若ACN ，BDN ，ANB 的面 依次构成等差数列，求此 点N 的坐 解法一：（ 1）因 抛物 的准 l 的方程 yp ，所以可 点 N ,A , B 的坐 分 224 py2 ， 由 x24 py ，得 yx2(m， p）， ( x1，y1) ， ( x2，y2 ) ， x14 py1 ， x2，4 px12pyxy1px14 p求 数得y，于是，即x1，2px1m 2 px1m 2 p化 得 x122m
16、x14 p20 ，B同理可得 x222mx2 4 p20，E所以 x1 和 x2 是关于 x 的方程 x22mx4 p20QAxx1,2mm24 p 2 ，且 x1x24 p2 O两个 数根，所以在直 AB 的方程 y y1y2y1 ( xx1 ) 中，CNDx2x1令 x 0，得 y y1y2y1 x1x2 y1x1 y2 =x1 x2 ( x1x2 )x1 x2p 定 ，x2x1x2x14 p( x2x1 )4 p所以直 AB 必 y 上的一个定点Q (0， p) ，即抛物 的焦点5分(2) 由（ 1）知 x1x22m ，所以 N 段 CD 的中点，取 段AB 的中点 E ，因 Q 是抛物
17、 的焦点，所以AQAC， BQBD ，所以 AC BD AB ，所以 S ANBS ANES BNE1 EN CN1 ENDN1 EN(CNDN )222EN CNACBDAB CNCN2，2又因 S ACNAC CNAQ CNBD DN BQ CN2， S BDN22，2所以 AQ CN ， BQ CN ， AB CN 成等差数列，即AQ， BQ， AB 成等差数列，222即 0 x1， x20， x2x1 成等差数列，所以 x22x12x2 ， x22x1 ，所以 x1 x22 x12( mm24 p2 )(mm24 p 2 )4 p2 ， x12 p ，x12 p ， x22 2 p ，
18、 mx1x22 p ，22x12 p ， x22 2 p ， mx1x22 p ，所以所求点 N 的坐 (2 p， p）22102分解法二：（ 1）因 已知抛物 的准 l 的方程 yp ，所以可 点 N，A，B 的坐 分 为，224 py2 ，(m， p） ( x1，y1) ， ( x2，y2 ) ， x14 py1 ， x2设过 N 点与抛物 相切的直 方程 ypk(xm) ，与抛物 方程x 24 py 立，消去 y 得 x24 pkx4 pmk4 p20 ，因 直 与抛物 相切，所以16 p2k 216( pmkp2 )0 ，即 pk 2mkp0，解得 k，mm24 p2，此 两切点横坐
19、分 ，22 ，1 22 px1 22 pk m m 4 p在直 AB 的方程 y y1y2y1 ( xx1 ) 中，令 x0得x2x1yy1y2y1x1x2 y1x1y2 =x1 x2 ( x1x2 )x1 x2p 定 ，x2x1x2x14 p(x2x1 )4 p所以直 AB 必 y 上的一个定点Q (0， p) ，即抛物 的焦点5分（2）由（ 1）知两切 的斜率分 kmm24 p2k21，所以 ANBN ， k11 22 p 接 QN ， 直 QN 斜率 kQN2 p，m又因 直 AB 的斜率 kABy2y1x22x12x2x12mm ，x2x14 p( x2 x1)4 p4 p 2 p所以 kk2 p m1，ABQNm2 p所以 QNAB ，又因 AQAC， BQBD ，所以ACN AQN， BDN BQN ，所以AQN， BQN 和ANB 的面 成等差数列，所以AQ， BQ， AB 成等差数列，所以0x1， x20， x2x1 成等差数列，所以x22x12x2 ， x22x1 ，所以 x x2 x2( mm24 p2 )(mm24 p2 )4 p2 ， x2 p ，1211x2 p ， x22 2 p ， mx1x22 p ，122