《苏教版(文科数学)圆锥曲线中的定点与定值问题单元测试.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《苏教版(文科数学)圆锥曲线中的定点与定值问题单元测试.docx（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、名校名 推荐(五十三 )圆锥曲线中的定点与定值问题A 组 夯实基础1 (2018 东北三校联合模拟)已知圆 M： x2 (y 2)2 1，直线 l： y 1，动圆 P 与圆M 相外切，且与直线 l 相切设动圆圆心P 的轨迹为 E(1)求 E 的方程； 恒(2)若点 A， B 是 E 上的两个动点， O 为坐标原点，且 OAOB 16，求证：直线 AB过定点(1)解： 设 P( x， y)，则 x2 y 2 2 (y 1) 1? x2 8y.所以 E 的方程为 x2 8y(2)证明： 易知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB ：y x b，A(x1， y1) ，B(x2， y2)将直线 AB 的
2、方程代入 x2 8y 中，得 x28 x 8b0，所以 x1 x2 8 ， x1x2 8b x12x222OAOB x1x2 y1y2 x1x2 8b b 16? b 4，所以直线 AB 恒过定点 (0,4)6422xyF1， F2 ，过 F22 (2018 濮阳模拟 )已知椭圆 C： a2 b2 1(ab0) 的左、右焦点分别为的直线 l 交椭圆于A，B 两点， ABF 1 的周长为8，且 AF 1F 2 的面积最大时，AF 1F2 为正三角形(1)求椭圆 C 的方程；2|MN |(2)若是椭圆C 经过原点的弦，MN AB，求证：|AB | 为定值(1)解： 由已知 A， B 在椭圆上，可得
3、 |AF 1| |AF 2| |BF1| |BF 2| 2a，又 ABF 1 的周长为 8，所以 |AF 1| |AF 2| |BF1| |BF 2| 4a8，即 a 2，由椭圆的对称性可得，AF 1F 2 为正三角形当且仅当A 为椭圆短轴顶点，则a 2c，即222c1， b a c 3，x2y2则椭圆 C 的方程为 4 3 12|MN | 4；(2)证明： 若直线 l 的斜率不存在， 即 l：x1，求得 |AB| 3，|MN | 2 3，可得 |AB|若直线 l的斜率存在，设直线 l ： y (x 1)，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， D (x4， y4
4、)，22xy代入椭圆方程 1，1名校名 推荐可得 (3 4222212 0，)x 8x 42212有 x1 x28k2， x1x24k2 ，34k3 4k2|AB|1k2 x1 x2 2 4x1x212 1 k2 ，3 4k由 y x 代入椭圆方程，可得x 23，3 4k2|MN | 2 1 k2 2 322 43 1k2，即有 |MN| 43 4k23 4k|AB|综上可得 |MN |2为定值 4|AB|3 (2018 娄底模拟 )已知抛物线C： y22px(p 0)的焦点F(1,0)，O 为坐标原点， A， B是抛物线 C 上异于 O 的两点(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线 OA，O
5、B 的斜率之积为12，求证：直线 AB 过 x 轴上一定点(1)解： 因为抛物线y2 2px(p 0)的焦点坐标为(1,0)，p所以 1，所以 p 2所以抛物线C 的方程为y2 4x(2)证明： 当直线AB 的斜率不存在时，t2t2， t， t设 A 4， B 4OA， OB 的斜率之积为1因为直线2，所以t t123222 ，化简得ttt244所以 A(8， t)，B(8， t)，此时直线AB 的方程为x 8当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为y x b， A(xA， yA)， B(xB， yB)，联立方程组y2 4x，消去 x，得 y2 4y 4b 0ykx b4b由根与系数的关系得yA
6、yB，OA， OB 的斜率之积为1因为直线2，yA yB122所以yA yB 2yAyB 0， ，即 xAxB 2yAyB0，即4xA xB242名校名 推荐解得 yAyB 32 或 yAyB 0(舍去 )4b所以 yAyB 32，即 b 8 ，所以 y x 8 ，即 y (x 8)综上所述，直线AB 过定点 (8,0)B 组能力提升1 (2018 江西模拟 )已知椭圆x2y2 1(ab0) 的离心率为2C：2 2，以原点为圆心，椭ab2圆的短半轴长为半径的圆与直线x y 2 0 相切(1)求椭圆 C 的方程；(2)A， B 分别为椭圆 C 的左、右顶点，动点M 满足 MB AB，直线 AM
7、与椭圆交于点P(与 A 点不重合 )，以 MP 为直径的圆交线段BP 于点 N，求证：直线MN 过定点(1)解： 以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x y 20 相切2原点到直线 xy 2 0 的距离 d12 12 2， b 2，x2y22， e2又椭圆 C：221(ab0) 的离心率为2，ab22b 2则 1 a2 2 ， a 2，2 y2椭圆 C 的方程为 x 142(2)证明： 设 M(2， t)，则直线 AM 的方程为 y t(x 2)，4t222y 4 x 2 ，t 2tt联立消去 y 得， 1 8 x2x2 4 0，x2 2y2 4，4t2 3216 2t228t xAx
8、P2，则 xP2 8， yP t (xP 2)t 8t4t 88tyPt2 82故 PBxP 2 16 2t2t ，2 2t 8又以 MP 为直径的圆上与线段BP 交于点 N，则 MN BP，故直线 MN 方程为 y t t(x 2)，即 yt x，22直线 MN 过定点 O(0,0)x2y23，2 (2018 攀枝花模拟 )已知右焦点为 F2(c,0)的椭圆 C： a2 b2 1(ab 0)过点1， 23名校名 推荐椭圆 C 关于直线x c 对称的图形过坐标原点(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线l ： x myn 与椭圆C 相交于A、 B 两点，以AB 为直径的圆经过坐标原点O.试问：点
9、O 到直线 AB 的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由解： (1)椭圆 C 过点3，191， 222 1，a4b椭圆 C 关于直线x c 对称的图形过坐标原点，2 a 2c， ab2 43，由得 a 2， b3，x2y2椭圆 C 的方程为：4 3 1(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，xmy n，可得 (3m24)y26mny3n2 12 0，由3x2 4y212， 36m2n2 4(3m2 4)(3n2 12) 0? 3m2n24 0，6mn3n2 12y1 y22， y1y223m 43m 44n2 12m2x1x2( my1 n)(my2 n) m2y1
10、y2mn(y1 y2)n22，3m 4以 AB 为直径的圆经过坐标原点O， 7n2 12m2122 OAOB x1x2y1y22 0?n3m 412(m2 1)，满足 0，7点 O 到直线 l 的距离 d，2n212? d221d 27，m 17点 O 到直线 AB 的距离为定值 2 2173 (2018 黄山模拟 )如图，已知M(x0 ，y0)是椭圆 C：x2y21 上的任一点，从原点 O63向圆 M： (x x0)2 (y y0)2 2 作两条切线，分别交椭圆于点P， Q4名校名 推荐(1)若直线 OP，OQ 的斜率存在，并记为1， 2，求证： 1 2 为定值；(2)试问 |OP|2 |O
11、Q|2 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由(1)证明： 因为直线 OP：y 1x， OQ ： y|k1x0 y0|2，2x 与圆 M 相切，所以1 k12化简得： (x02 2) 12 2x0y0 1 y02 2 0，同理： (x02 2)22 2x0y0 2 y02 2 0，所以1，2 是关于 的方程 (x02 2) 2 2x0y0 y02 2 0 的两个不相等的实数根，所以12y02 22x0 2因为点 M( x0， y0)在椭圆 C 上，所以x02y0221 2 1，即 y0 3 x0，632121x01为定值所以1 2 22x022(2)解： |OP|2 |OQ|2 是定值，定值为 9.理由如下：当 M 点坐标为 ( 2， 2)时，直线 OP， OQ 落在坐标轴上，显然有|OP|2 |OQ|2 9当直线 OP，OQ 不落在坐标轴上时，设P(x1，y1)，Q(x2， y2)，因为1 2 1，所以2221 22y1y24x1x2，因为 P(x1， y1)， Q(x2 ，y2 )在椭圆 C 上，221 2x1y12所以6 3 1，即y1 3 2x1，x22 y22 1，y22 3 1x22，632所以1212122223x13x212，整理得x1 x2 6，224x x221212 3，所以 y1 y2 3x13 x222所以 |OP|2 |OQ|2 95