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1、名校名 推荐第 10 单元 圆的方程一、选择题1.若圆 C 的半径为 1，圆心 C 与点 (2,0)关于点 (1,0)对称，则圆 C 的标准方程为 ()A x2 y2 1B (x3) 2 y2 1C (x 1)2 y2 1D x2 (y3)21解析： 因为圆心 C 与点 (2,0)关于点 (1,0)对称， 故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为 x2 y2 1.答案： A2.若曲线 C：x2 y22ax 4ay5a2 4 0 上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为 ()A (， 2)B (， 1)C(1， )D(2， )解析 曲线 C的方程可以化为 (x a)2 (y
2、2a)2 4，则该方程表示圆心为( a,2a)，半径等于2 的圆因为圆上的点均在第二象限，所以a2.答案 D3.(2017 东北三省四市二模)直线 x3y 3 0 与圆 (x 1)2 (y 3)2 10 相交所得弦长为()53A. 30B. 2C 4 2 D 3 3解析 由题知，题中圆的圆心坐标为(1,3)，半径 r 10，则圆心到直线的距离d|1 9 3|10，所以弦长为 2 r2 d2 210 10 30.12 3 224答案 A4已知点 M(a， b)在圆 O： x2 y2 1 外，则直线 ax by 1 与圆 O 的位置关系是 ()A 相切B 相交C相离D 不确定解析： 由点 M 在圆
3、外，得 a2 b2 1，圆心 O 到直线 ax by 1 的距离 d10， b0) 关于直线x y 1 0 对称，则 ab 的最大值是()11A. 2B.812C.4D. 4解析： 由圆 x2y24ax 2by b20(a0， b0)关于直线 x y1 0 对称，可得圆心(2a，b)在直线 x y 1 0 上，故有 2a b 10，即 2ab 1 22ab，解得 ab1，故 ab8的最大值为 1，故选 B.8答案： B7.(2018 惠州模拟 ) 已知圆 O：x2 y24 上到直线 l： xy a 的距离等于1 的点恰有3 个，则实数 a 的值为 ()A 22B. 2C 2或 2D 2 2或
4、2 2解析： 因为圆上到直线l 的距离等于1 的点恰好有 3 个，所以圆心到直线l 的距离 d 1，即| a|d 1，解得 a 2.故选 C.答案： C8.点 P(4， 2)与圆 x2 y2 4 上任一点连线的中点轨迹方程是()A (x 2)2( y1) 2 1B( x 2) 2 (y1) 2 4C( x 4) 2 (y2) 2 4D (x 2)2( y1) 2 1解析 设圆上任一点坐标为(x0， y0)，则 x20 y20 4，连线中点坐标为(x， y)，则 2x x04， ? x0 2x4， 代入 x20 y20 4 中得 ( x2)2 (y1) 2 1.2y y02 2y2，y0答案 A
5、9.(2017 宁夏银川九中五模)直线l： kx y 4 0(k R )是圆22 4x 4y 6 0C： x y的一条对称轴，过点A(0， k)作斜率为 1 的直线 m，则直线 m 被圆 C 所截得的弦长为 ()2名校名 推荐2A. 2B. 2 C. 6 D 2 6解析 圆 C：x2 y2 4x4y 6 0，即 (x 2)2 (y 2)22，表示以 C( 2,2)为圆心，2为半径的圆 由题意可得， 直线 l：kx y4 0 经过圆心C( 2,2)，所以 2k 24 0，解得 k 3，所以点 A(0,3)，故直线 m 的方程为 y x 3，即 x y3 0，则圆心 C 到直线 m的距离 d| 2
6、 2 3| 1 ，所以直线 m 被圆 C 所截得的弦长为2216.故选 C.222答案 C10.(2017 福建厦门4 月联考 )若 a 2， 0， 1， 3 ，则方程x2 y2 ax 2ay 2a2 a41 0表示的圆的个数为 ()A 0 B 1 C 2 D 3 解析 方程 x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0表示圆的条件为a2 4a2 4(2a2 a1)0 ，即2 4a 40 ，解得20， 1，3223a2 a0) ，则圆心到直线2x y0的距离 d |2a 0| 4 5，得 a2，半4 15径 r2 0 2 05 2 3，所以圆 C 的方程为 (x 2)2 y2 9.答案： (x
7、 2)2 y2 912.已知圆 C1： x2 y2 2mx 4y m2 5 0 与圆 C2： x2 y2 2x2mym2 30，若圆 C1 与圆 C2 相外切，则实数m.解析 圆 C1 和圆 C2 的标准方程分别为 (x m)2 (y2) 2 9，(x 1)2 (y m)2 4，圆心分别为 C1( m， 2)，C2 ( 1，m)，半径分别为 3 和 2.当两圆外切时，m 12 m 225，解得 m 2 或 m 5.答案 2 或 513.已知直线 l： x y4 0与圆 C： (x 1)2( y1)2 2，则圆 C 上各点到 l 的距离的最小值为解析 由题意得C 上各点到直线l 的距离的最小值等
8、于圆心(1,1)到直线 l 的距离减去半径，即 |1 1 4|2 2.23名校名 推荐答案 214.(2018 滨州模拟 )在平面直角坐标系xOy 中，以点 (2,1)为圆心且与直线mx y 2m 0(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为解析： 直线 mx y 2m0 过定点 (2,0)，则以点 (2,1)为圆心且与直线mx y 2m 0(m R)相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为1，半径最大的圆的标准方程为(x2)2 (y1) 21.答案： (x 2)2 (y 1)2 1三解答题15.已知圆 C 经过点 (0,1)，且圆心为C(1,2)(1) 写出圆 C 的标准方程；(2) 过点
9、 P(2， 1)作圆 C 的切线，求该切线的方程及切线长解析： (1)由题意知，圆C 的半径 r 1 0 2 2 1 22，所以圆 C 的标准方程为(x 1)2 (y 2)2 2.(2) 由题意知切线斜率存在，故设过点P(2， 1)的切线方程为 y 1k( x 2)，即 kx y 2k1 0，则 | k 3|2 2，1 k所以 k2 6k 70，解得 k 7 或 k 1，故所求切线的方程为 7x y 15 0 或 x y 1 0.由圆的性质易得所求切线长为PC2 r 22 1 2 1 2 2 222.16.已知矩形 ABCD 的对角线交于点 P(2,0)，边 AB 所在的直线方程为x y 2
10、0，点 ( 1,1)在边 AD 所在的直线上(1) 求矩形 ABCD 的外接圆方程；(2) 已知直线 l：(1 2k)x (1 k)y 5 4k 0(k R)，求证：直线 l 与矩形 ABCD 的外接圆相交，并求最短弦长解析： (1)依题意得AB AD ， kAB 1，kAD 1，直线 AD 的方程为y 1 x 1，即 y x 2.解 x y 20，x y 2 0， 得 x 0，y 2， 即 A(0,2) 矩形 ABCD 的外接圆是以P(2,0)为圆心，|AP | 22为半径的圆，方程为(x 2)2 y2 8.(2) 直线 l 的方程可整理为 (x y 5) k(y 2x4) 0， k R， x y 50， y 2x 4 0，解得 x 3，y 2，直线 l 过定点 M (3,2) 4名校名 推荐又点 M(3,2)在圆内，直线l 与圆相交圆心 P 与定点 M 的距离 d5，最短弦长为28 5 23.5