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1、名校名 推荐余弦定理221已知 ABC 的三内角 A，B，C 满足条件sin A sin Bsin C1，则角 A 等于 ()sin Bsin CA 30B 60C75D 120 答案： B解析： sin2 A sin B sin C 2 1，sin Bsin C22a b c 1，bc a2 b2 c2 2bc bc， cos Ab2 c2 a21 .2bc2 A 60.故应选 B.2(20142 C 1，安徽高三质检 )在 ABC 中，已知 2acos B c，sin Asin B(2 cos C) sin2 2则 ABC 为 ()A 等边三角形B等腰直角三角形C锐角非等边三角形D钝角三角
2、形答案： Ba2 c2 b222解析： 由 2acos B c? 2a c? a b ，所以 a b.因为 sin Asin B(2 cosC)2ac sin 2C 1，所以 2sin Asin B(2 cos C) 2 1 2sin2C 0，所以 2sin Asin B(2 cos C)22212 cos C0，所以 (2 cos C)(2sin Asin B 1) 0，因为 cos C 2，所以 sin Asin B2，因为21，所以a b，所以 sinA2A B ，所以 ABC 是等腰直角三角形，故应选B.43若 ABC 的三边长为a，b，c，且 f( x) b2x2 (b2 c2 a2
3、)x c2，则 f(x)的图像 ()A 在 x 轴的上方B在 x 轴的下方C与 x 轴相切D与 x 轴交于两点答案： A解析： 由题意知(b2 c2a2)2 4b2c2 (2bccos A)2 4b2 c2 4b2c2(cos2A 1)2 22 4b c sin A0)，222则由余弦定理得cos Ba c b2ac 5k 2 8k 2 7k 2 1，2 5k8k2又 B 为三角形内角， B 3.2名校名 推荐7在 ABC 中，若 a 9，b 10， c12，则 ABC 的形状是 _答案： 锐角三角形a2b2c2解析： C 为最大角，且cos C0， C 为锐角2ab8 (2014 课标全国新
4、 )已知 a， b， c 分别为 ABC 三个内角 A， B， C 的对边， a 2，且(2 b) (sin A sin B) (cb) sin C，则 ABC 面积的最大值为 _答案：3解析： 由 a 2，且 (2 b)(sin A sin B) (c b)sin C，故 (a b)(sin A sin B) (c b)sin C，又根据正弦定理，得 (a b)( a b) (c b)c，化简得， b2 c2 a2 bc，故 cos A b2 c2 a2 1，2bc2所以 A 60，又 b2c2bc 4 bc，1故 SABC 2bcsin A 3.9已知三角形 ABC 中， b3， c 33
5、， B 30，求 a.解： 解法一： (利用正弦定理 )根据正弦定理，得bc ，sin Bsin Ccsin B3 3sin 30 3 sin C b 3 2 . cb， CB，三角形有两解，C 60或 120.当 C 60时， A 90， a 6；当 C 120时， A 30， a 3.解法二： (利用余弦定理 )根据余弦定理，得b2 a2 c2 2accos B， 32 a2 (3 3)2 2a3 3cos30， a2 9a18 0， a3 或 6.10在 ABC 中，求证： cos A cos Bcos C a2 b2 c2.abc2abc证明： 由余弦定理得3名校名 推荐2222222
6、22222cos Acos B cos C b c a a c b a b ca b c .abc2abc2abc2abc2abc11在四边形ABCD 中，已知BC a，DC 2a，四个内角A，B， C， D 的度数之比为3 7 4 10，求 AB 的长解： 设四个内角A， B， C，D 度数依次为3x,7x,4x,10x.则 3x 7x 4x 10x 360， x 15， A 45，B 105， C 60，D 150.在 BCD 中，由余弦定理得BD2 a2 4a2 2a2 3a2， BD 3a 或 3a(舍去 )此时有 DC 2BD 2 BC2， BCD 为直角三角形， CDB 30， A
7、DB 120.在 ABD 中，由正弦定理得BD sin ADBABsin A3asin 120 32asin 45 2 .12在 ABC 中，已知ab c(cos B cos A) ，判断 ABC 的形状解： 由余弦定理得a2 c2 b2b2 c2 a2a bc2bc2aca2 c2 b2b2 c2 a22a2b， 2ab(a b) b(c2 a2 b2) ac2 (a2 b2 ) bc2 b(a2 b2) ac2 a(a2 b2) (b a)c2 (b a)(a2 b2)22 (a b)c (b a) (a b) (a b)( b a)2 c2 (a b)( b a)2 c2 2ab (a
8、b)(a2 b2 c2) 0. a b 0 或 a2 b2 c20， ABC 是等腰三角形或直角三角形思考与探究 13 (2014 青岛模拟 )已知函数f(x) sin wx(w 0)在区间0，上单调递增，在区间3 2， 上单调递减，如图，四边形 OACB 中， a， b， c 为 ABC 的内角 A，B， C 的对边， 3 34名校名 推荐且满足 sin B sin C4w cos B cos C3.sin Acos A(1)证明： bc2a；(2)若 b c，设 AOB (0 )，OA 2OB 2.求四边形OACB 面积的最大值2 4解： (1)证明：由题知w 3 ，3解得 w . sin
9、 B sin C 2 cos B cos C，sin Acos A sin Bcos A sin Ccos A 2sin A cos Bsin A cos Csin A， sin Bcos A cos Bsin Asin Ccos A cos Csin A 2sin A， sin(A B) sin(AC) 2sin A， sin B sin C 2sin A， b c 2a.(2) b c 2a， b c， a b c， ABC 为等边三角形S 四边形 OACB S OAB S ABC132 OAOBsin 4AB2 sin 3222OAOBcos )4(OA OB sin 3cos 534 5 3 2sin 3 4 . (0， )， 2 3 ，3 3 当且仅当 ，32553即 6 时取最大值， SOACB 的最大值为24 .5