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1、高中数学圆锥曲线 - 曲线上一点处的切线学案1 苏教版选修 1-1课 题曲线上一点处的切线课 型新授时间1理解曲线在一点处的切线的概念学习目标2理解并掌握曲线在一点处切线的斜率的概念、求法及切线方程的求法3掌握“局部以直代曲”和“用割线的逼近切线”的思想方法理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处切线的斜率的定义，学习重点掌握曲线在一点处切线斜率及切线方程的求法学习反思：一、自主学习（一）点 P 附近的曲线1平均变化率： 函数 f ( x) 在区间x1，x2 上的平均变化率为即曲线上两点的连线（割线）的斜率显然平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势。2如何精确地刻画曲线上某一点
2、处的变化趋势呢？（点 P 附近的曲线的研究）（从直线上某点的变化趋势的研究谈起，结合“天圆地方”的故事带来“宏观上曲，微观上直” ，“曲绝对，直相对”的初步感受，后提出“放大图形”的朴素方法）PPP放大放大PPP放大放大（ 1）观察“点 P 附近的曲线” ，随着图形放大，你看到了怎样的现象？（ 2）这种现象下，这么一条特殊位置的直线从其趋势看几乎成了这种思维方式就叫做 “逼近思想” 。从上面的学习过程来看：1）曲线在点P 附近看上去几乎成了直线2）继续放大， 曲线在点 P 附近将逼近一条确定的直线l ，这条直线是过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线3）点 P 附近可以用这条直线l 代替曲线这
3、样，我们就可以用直线l 的斜率来刻画曲线经过P 点时的变化趋势练习：见课本（文P62，理 P10）第 3 题：；。3.怎样找到经过曲线上一点P 处最逼近曲线的直线l 呢？如图（ 1）试判断哪条直线在点P 附近更加逼近曲线？（ 2）在点 P 附近能作出比m， n 更加逼近曲线的直线l 么？（ 3）在点 P 附近能作出比m， n ， l 更加逼近曲线的直线l 么？用心爱心专心- 1 -说明：随着点 Q 沿曲线向点 P 运学习反思：动，直线 PQ 在点 P 附近越来越16Q逼近曲线14m12E86l4D2P（二）曲线上点P 处的切线及其斜率1割线逼近切线yyyf ( x)yf (x)QQyyPx M
4、Px MOxOxQ 为曲线上不同于点P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的 割线；P P随着点 Q 沿曲线向点运动 ，割线 PQ 在点附近越来越逼近 曲线， 当点 Q无限逼近点P时，直线 PQ 最终成为点Pl，这条直线l处最逼近 曲线的直线也称为曲线在点P 处的 切线 2割线斜率逼近切线斜率切线的概念提供了求切线斜率的方法问题：对比平均变化率这一近似刻画曲线在某个区间上的变化趋势的数学模型，在这里平均变化率表示为什么？又用怎样数学模型来刻画曲线上P 点处的变化趋势呢？为了更好地反映点 Q 沿曲线向点 P 运动，我们选择了一个变量x 不妨设 P( x， f ( x) ，Q 点的横坐标为 xx ，
5、则 Q 点的横坐标为，则割线 PQ 的斜率为 k PQ=，当点 Q 沿着曲线向点P 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点P 处切线斜率，即当 x 无限趋近于 0 时， f (xx) f ( x) 无限趋近点 P(x， f (x)x 取 0 时 kPQ 的值）x处切线斜率（即为练习： 见课本（文P62，理 P10）第 1、2 题（在课本上作出答案）。二、问题探究与合作交流例题：已知f (x)x2 ，求曲线yf (x) 在 x2 处的切线斜率和切线方程学习反思：注意书写的规范性用心爱心专心- 2 -变 1：已知 f ( x)x2 ，求曲线 yf ( x) 在 x1 处的切线斜率和切线方程变 2：已知 f ( x)x 1 ，求曲线 yf ( x) 在 x1 处的切线斜率和切线方程变 3：已知 f ( x)1x2 ，求曲线 yf ( x) 在 x1 处的切线斜率是多少？2三回顾小结用心爱心专心- 3 -四、巩固练习见课本（文P63，理 P11）第 4 题；（文 P67，理 P16）第 1、3 题用心爱心专心- 4 -