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1、三次函数与导数高中教材增加导数及应用这一新内容后，高考试题中自然形成了新的知识热点，围绕三次函数这一知识点来命题主要有以下几类一、与三次函数图象上某点的切线相关的数学问题例曲线 y x33x21在点（ 1， 1）处的切线方程为（）A y3x 4B y3x2C y4x 3D y 4 x 5分析：先求此处的导数值，即切线的斜率，再由点斜式得出直线的方程答案选B 二、与三次函数有关的单调性问题例 2若函数 f ( x)1 x31 ax2( a 1)x 1 在区间（ 1， 4）内为减函数，在区间32（6， +）上为增函数，试求实数a 的取值范围分析：本小题主要考查导数的概念、应用导数研究函数单调性的基
2、本方法及综合运用数学知识解题的能力解：函数 f ( x) 的导数 f (x)x2axa 1令 f(x)0 ，解得 x=1 或 xa1 当 a1 1，即 a 2 时，函数 f ( x) 在（ 1，+）上是增函数，不合题意当 a11，即 a 2时，函数 f ( x) 在（ ， 1）上为增函数，在（1， a1）内为减函数，在（ a1， +）为增函数依题意应有当x (14)， f( x)0 ；当 x (6，)， f ( x) 0则 4 a 1 6 解得 5 a 7所以 a 的取值范围是5， 7三、与三次函数有关的极值、最值问题例 3已知 a 为实数，f ( x)( x24)( xa) （1）求导数f
3、( x) ；（2）若 f ( 1) 0，求 f(x) 在2，2上的最大值和最小值；（3）若 f ( x) 在（，2和 2， +）上都是递增的，求a 的取值范围解：（ 1）由原式，得f (x)x3ax24x 4a ，1 f (x)3x22ax4 （2）由 f (1) 0，得a12此时有 f ( x)(x24)x1， f( x)3x2x4 2令 f (x) 0 ，得 x4或 x1 3又 f450 ， f ( 1)9， f (2)0， f (2)0，3272所以 f (x) 在 2， 2上的最大值为9 ，最小值为50227（3）解法 1：因为 f ( x)3x22ax4 的图象是开口向上且过点（0，
4、4）的抛物线，4a8 ，由条件，得f ( 2) 0， f(2) 0 ，即084a 0.所以 2 a2所以 a 的取值范围为2， 2解法 2：令 f ( x)0 ，即 3x22ax40 ，由求根公式得x1，2aa2 12 ( x1x2 ) ，3所以 f( x)3x22ax4 在（， x1 和 x2，）上非负a212a，由题意可知， x1 2， x2 2 ，即6a2126a.解不等式组，得2 a 2所以 a 的取值范围是2，2 四、不求导借助函数方程知识求解值得注意的是， 并非所有三次函数都必须用到导数 例 4 借助图形特征， 用方程知识求解更好！例 4已知函数 f (x) ax3bx2cx d 的图象如图所示，则（）A b(，0)B b(01)，C b(12)，D b(2，)解析：观察图象，你能够看到什么？联想到什么？2图象过原点，由f (0)0 ，可求得 d0， f (x) ax3bx 2cx x(ax2bxc) ；图象通过（ 1， 0）、（ 2， 0）两点，a bc，显然有0，即 6a2b0 ，8a4b2c，0 b3a ； a 是什么数？是正还是负？联想当x时， f (x) +，所以有 a 0 b0， b(，0) ，故选 A 3