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1、股票指数期权、外汇期权和期货期权【学习目标】本章的主要学习目标是掌握股票指数期权、外汇期权和期货期权的定价原理。我们把这三种期权放在一起讨论是因为它们的定价原理相同，三种期权的标的资产都可以看成是支付连续红利的资产。对股票指数而言，它的红利是指数所含股票的红利总和，对外汇而言，可以把外汇的利率看成红利，而对期货而言，可以将融资成本和标的资产的储存成本看成红利。我们还要深入理解各种期权定价模型在本章中的运用。因为股票指数期权、外汇期权和期货期权的标的资产都可以看成是支付连续红利的资产，因此可以用默顿（Merton）模型直接为这三种资产的欧式期权定价。同样，二叉树模型也可以直接应用，二叉树模型还可
2、以直接用来为美式期权定价。第一节 欧式股票指数期权、外汇期权和期货期权的定价默顿（Merton）模型是B-S（Black-Scholes）模型的扩展，可以用来为支付连续复利红利的资产的欧式期权定价。一、默顿模型默顿模型通过将股票所支付的连续复利的红利看成负的利率来扩展B-S模型。在前面的章节里，我们证明了红利的支付会降低看涨期权的价值，因为红利会降低期权标的股票的价值。实际上，连续红利支付意味着股票价值的连续漏损，令表示漏损率，它等于红利的支付率。因此，我们只要将代替式（11.2）和（11.3）中的S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。根据默顿模型，标的股票支付连续红利的
3、欧式看涨期权的价值为由于因此，、分别为： （13.1）从中可以看出，默顿模型将标准的B-S模型中的换成了 （13.2）依据默顿模型得出的欧式看跌期权价值为 （13.3）当0时，默顿模型就转化为B-S模型。二、股票指数期权默顿模型也可以用来给股票指数期权定价。股票指数综合反映了一系列股票的表现，我们可以将股票指数看成是一个股票组合，每期都可能有一部分股票支付红利。因为我们是给以一个组合为标的的期权定价，所以我们关心的只是组合的红利支付，几乎所有的股票都只是按期支付离散的红利，不过股票指数中包含了众多的股票，因此假设股票指数支付连续红利是比较接近现实的，而且指数所含股票越多，这个假设就越合理。为了
4、解释默顿模型在股票指数期权定价上的运用，我们用一个例子来进行说明。例13.1 假设现在有一价值为350.00的股票指数，指数收益的标准差是0.2，无风险利率是8，指数的连续红利支付率是4。该指数的有效期为150天的欧式看涨期权和看跌期权的执行价格为340.00，那么，4，350.00。从而因此，期权价值为三、外汇期权我们现在考察默顿模型在外汇期权定价中的运用，我们站在美国期权交易者的角度来看这个问题，此时外汇汇率（直接标价）成了，外汇的利息可以看成红利，公式中的标准差是标的资产价格即外汇汇率的标准差。例13.2 考虑一个英镑的欧式看涨期权和欧式看跌期权。英镑目前的汇率是$1.40，标准差是0.
5、5，英国目前的无风险利率为12，而美国的是8，看涨期权和看跌期权的执行价价格都为$1.50，有效期都是200天。根据默顿模型，可以计算得到看涨期权价值为$0.1452，看跌期权价值为$0.2700。四、期货期权假设有一种类似黄金的资产，这种资产的存货相对于消费很大，而且容易保存，该资产生产的季节性不明显，消费的季节性也不明显，而且这种资产可以卖空。当这些条件都满足时，以该资产为标的的期货的理论价格为 （13.4）如果这个等式不成立，就会有无风险的套利机会存在。一般而言，所有的贵金属（金、银和铂等）和所有的金融工具（股票和债券等）都满足这个关系。从默顿模型的角度来看，资产即期价格的增长率r，取代
6、了,期货价格取代了（13.1）中的股票价格。也就是说，对于可以纳入持有成本模型的资产，它的期权定价可以将默顿模型中的用r来取代进行，即令r即可，这样处理使得期货期权的定价十分简单。因此，欧式期货看涨期权和欧式期货看跌期权的价值分别为其中， （13.5）式（13.5）中的标准差是指期货价格的标准差。例13.3 假设有一个有效期为一年的股票指数期货的欧式期权，指数现在为480.00，无风险利率为7，因此，根据持有成本模型，期货价格应该为：设以该期货为标的的欧式期权的执行价格为500.00，期货价格的标准差为0.2，那么因此，期权价格为五、期货期权和现货期权有些资产，例如外汇，既有以它的现货为标的的
7、期权交易，同时也有它的期货为标的的期权交易，这两种期权的区别关键取决于期权是欧式的还是美式的。在期货合约到期的时候，期货价格必须与现货价格相等，只有这样市场上才不会存在套利机会。例如，在黄金市场上，如果现货价格为$400/盎司，而且期货即将到期，那么期货价格的合约也必须为$400/盎司，否则就有套利机会，如果期货价格超过了现货价格，那么投资者在现货市场买入，在期货市场上交割就可以获利；反过来，如果期货价格低于现货价格，那么投资者只要买入期货，等待交割，然后卖出现货就可以获利。总之，在期货合约到期时期货价格必须等于现货价格，否则就会存在上述套利机会。无套利条件对欧式期货期权的定价意义重大，因为欧
8、式期权只有在到期时才能交割，所以交割时期货价格和现货价格一定相等。也就是说欧式期货期权和现货期权的损益是相同的。因此，欧式期货期权和欧式现货期权的价格必须相等。（注意，这里欧式期货期权的到期日与其标的期货的到期日是相同的。）美式期货期权和美式现货期权的关系比较复杂，因为美式期权可以在到期日之前的任意时刻交割。美式期货期权和美式现货期权的关系取决于一定期限内现货价格和期货价格之间的关系。对于贵金属和金融资产，到期之前的期货价格几乎都高于现货价格；另外一些市场上如铜、农产品和能源市场上到期日之前的期货价格一般是低于现货价格的。一个完整的解释已超出本书的范围，这里只能做个简单的解释：如果标的资产的供
9、给相对于消费很大，标的资产容易储存和运输，标的资产的供给和需求不存在季节性波动，标的资产卖空很容易，卖空成本很低，那么它的期货价格在到期日之前一般高于现货价格，上述条件一般适用于贵金属和金融资产；相对而言，工业用金属、农产品、能源产品的供给和需求的季节性波动很明显，现货市场不发达，运输成本和存储成本很高，这些因素使得期货价格在到期日之前低于现货价格。期货价格和现货价格之间的关系决定了美式期货期权和美式现货期权的关系，如果期货价格高于现货价格，那么美式期货看涨期权的价格必须高于美式现货看涨期权的价格，美式期货看跌期权的价格必须低于美式现货看跌期权的价格；反之如果期货价格低于现货价格，那么美式期货
10、看涨期权的价格必须低于美式现货看涨期权的价格，而美式期货看跌期权的价格必须高于美式现货看跌期权的价格。第二节 标的资产支付连续红利的期权价格的敏感性期权价格的敏感性是指参数变动时期权价格的变动幅度，如第十二章所述，衡量期权价格敏感性的指标包括DELTA、GAMMA、THETA、VEGA和RHO。本节我们将考察股票指数期权、外汇期权和期货期权价格的敏感性，基本原则与第十二章是一样的，但对敏感性的定义需要稍做调整。表13-1和表13-2给出了默顿模型中标的资产支付连续红利的看涨期权和看跌期权的敏感性，它们的具体运用条件是:1.在股票指数期权的敏感性计算中，将看成是指数的价格，将看成指数的连续红利收
11、益率，同时在计算和时做相应的调整。2.外汇期权：将看成外汇的价格（汇率），将看成外汇无风险投资的连续复利收益率，同时在计算和时做相应的调整。3.期货期权：将看成是期货合约的价格，将看成是无风险利率，因此，同时在计算和时做相应的调整。因为这些期权的敏感性计算很相似，我们只用一个英镑期权的例子来解释。例13.4 英镑现在的价格为$1.56,美国的无风险利率为11，英镑汇率的标准差是0.25，期权有效期为90天，期权执行价格为$1.50，那么90天，。代入公式得欧式看涨期权的价格为$0.1002，欧式看跌期权的价格为$0.0526，表133是这个期权价格的敏感性。表131 默顿模型中看涨期权价格的敏
12、感性名称敏感性其中：表132 默顿模型中看跌期权价格的敏感性名称敏感性其中：表133外汇期权价格的敏感性（默顿模型）看涨看跌期权价格$0.1002$0.05260.60820.36501.0850.15780.28590.28590.20930.15131.90581.9058第三节 二叉树定价模型一、二叉树模型回顾在第十一章，我们已经介绍了二叉树模型定价的基本原理和方法。总的来看，二叉树模型定价就是通过构造一个反映标的资产价格运动和到期可能分布的树形图，估计到期时的期权价值，然后以无风险利率往回贴现，推出期权的当前价格。二叉树模型的一个优点在于它可以同时为欧式和美式期权定价，可以为没有红利和
13、支付红利的期权定价。如果期权是美式期权，则其与欧式期权的一个比较大的区别是，在美式期权树形图上的每个节点，期权价格是以下两个值中较大的一个：1. 期权下一期的价值按无风险利率的贴现值；2. 立即执行期权得到的现金流，看涨期权是,看跌期权是。除此之外，在运用二叉树模型给美式期权定价是和欧式期权定价完全一样的。因此，当我们沿着树形图逆推期权价格时，首先将下一期的期权价格预期值贴现到当期，然后比较这个贴现值和立即执行期权获得的款项的大小，取其中较大的一个作为该节点的期权价值即可。如果标的资产支付连续红利，则需要对证券价格的增长率进行调整，以反映红利的影响。具体的调整思想与默顿模型是一致的：将连续红利
14、看作标的资产的负的利率。因此，当标的资产支付连续收益率为的红利时，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该为，相应地式（11.5）就变为：同时，式（11.8）变为： （11.12）式（11.9）和（11.10）仍然适用。因为欧式期权和美式期权的标的资产价格树形图是一样的，因此上述参数可以用来同时产生标的资产支付连续红利时欧式期权和美式期权的标的资产价格树形图。除此之外，二叉树模型也可以为支付已知红利和已知红利率资产的欧式期权和美式期权定价，其具体方法可以参见第十一章第二节的相关内容。二、股票指数期权的二叉树模型股票指数的红利支付可以看成是以连续方式支付的，也可以看作是以离散形式支付的。连续红利假
15、设下的股票指数期权定价可以用公式（11.9）、（11.10）和（11.12）进行计算。延续第一节的例13.1，如果用一个五期的二叉树模型为例子中的股票指数期权定价，得出的看涨期权价值为$26.37，看跌期权价值为$11.08。而用200期的二叉树模型确定的看涨期权价值为$25.94，看跌期权价值为$10.65。下面我们着重讨论当假设股票指数的红利是以离散形式支付时的二叉树定价法。为了使讨论简单，我们考虑一个现价为1250.00的指数，假设该指数的美式看涨期权和看跌期权的有效期为125天，执行价格为1250.00，指数的波动率是0.2，无风险利率8，在期权的有效期内，指数两次支付红利，第一次红利
16、支付在第15天，数额是15个指数点，第二次是在第120天，20个指数点。红利的现值为将指数现价减去红利现值，.现在计算上升和下降的参数，画出的树形图。我们将构造一个五期的树形图，因此每期包含25天。年的树形图如图13.1（a）所示。我们还必须在每个节点，按从节点开始到期权到期支付的红利的现值进行调整。由于每个节点对应第0，25，50，75，100和125天，第一次红利支付发生在第15天，因此它只会对现在节点产生影响；第二次红利支付发生在第120天，因此它会对除了到期节点之外的所有节点产生影响。具体调整如图13.1（b）。对于现在节点，我们知道所有红利的现值为34.43，其余各节点均发生在第一次
17、红利支付之后，因此对于后续节点我们只需考虑第二次红利支付。在第一期期末，即25天，红利的现值为在其他节点的现值19.70，19.80和19.91可以用类似的方法计算出来，并体现在图13.1（b）中。为了计算期权的价值，我们构造一个与图13.1对应的期权价格树形图，即图13.2。在到期日，期权的价值等于其内在价值，接着看倒数第一期的节点，我们先计算下一期期权的预期价值然后贴现。例如，如果指数在第五期末跌到996.29或897.33，对应的看涨期权回报分别为253.71和352.67，其贴现值为（0.5396253.710.4604352.67）0.9945297.63对应的调整后的树形图上是指数
18、价格为965.32。因为我们考察的是美式期权，因此期权的持有者可以提前执行期权。如果指数价格是965.32，立即执行期权获得的收入为1250.00965.32284.68。期权的持有者面临以下选择，要么立即执行期权获得284.68的现金收入，要么继续持有期权，预期收入为297.63。一个理性的交易者会选择持有，因此图13.2中对应节点的期权价值为294.63。树形图中的星号代表提前执行。（a）未按照红利调整的股票指数树形图（b）按红利调整后的股票指数树形图图 13.1 五期的股票指数树形图（a）看涨期权（b）看跌期权图 13.2 美式股票指数期权五期树形图三、外汇期权的二叉树模型我们现在考察连
19、续红利条件下的二叉树模型在外汇期权定价中的作用。仍然沿用本章前面的欧式外汇期权的例13.2，我们用一个五期的二叉树模型来解释该外汇期权的定价，二叉树模型中的参数为：一期的贴现因子为，图13.3给出了五期的外汇汇率树形图，而图13.4是相应的看涨期权与看跌期权价格的树形图。由图13.4可以看出，看涨期权的期初价格为0.1519，而看跌期权的期初价格为0.2766。用200期的二叉树树形图定出的看涨期权价格为$0.1454，看跌期权价格为$0.2702，作为比较，默顿模型给出的价格分别为$0.1452和$0.2700，显然这个结果和默顿模型的结果十分接近。图13.3 英镑价格的五期二叉树树形图(a
20、) 看涨期权(b) 看跌期权图13.4 英镑欧式期权的五期二叉树树形图进一步考虑，如果期权是美式的，这个外汇期权的定价方法如下： 我们首先按常规构造期权的树形图，然后计算下一期回报的预期值及贴现值，并与期权的内在价值比较，取其中较大的一个作为该节点的期权价值。图13.5给出了具体的树形图，星号代表提前执行是最优的。因为有时提前执行是最优的，因此它们的价格应该高于对应的欧式期权的价值。如图，美式看涨期权的价值为$0.1565，美式看跌期权的价值为$0.2773，提前执行溢价分别为$0.0046和$0.0007。（a）看涨期权（b）看跌期权图 13.5 美式英镑期权的五期二叉树树形图四、期货期权的
21、二叉树模型一般情况下，期货的标的资产可以看成支付相当于持有成本的收益率。在前面的讨论中，我们发现，这个收益率要等于无风险利率，否则就可能存在无风险的套利机会。因此，期货期权中，这一参数对美式期权和欧式期权是无差别的。延续前面的例13.3，指数现在的价格为480.00，无风险利率为7，指数期货看涨和看跌期权的有效期为1年。因此期货的价格必须是514.80，如果期货价格的标准差是0.2，期权的执行价格为500.00，那么。运用与外汇期权相同的方法，可以发现用五期的二叉树模型定出的欧式看涨期权和看跌期权价格分别为46.49和32.69，而美式看涨期权和美式看跌期权的价格则分别为$47.28和$33.
22、28。具体来看，二叉树模型的参数为而相应的每期贴现率为0.9861。本章小结1. 本章讨论了股票指数期权，外汇期权和期货期权的定价。我们同时讨论了这些期权的欧式和美式期权的定价，欧式期权可以用默顿模型和二叉树模型来定价，美式期权也可以用二叉树模型来定价。2. 默顿模型中的参数经替换后即可直接运用。具体而言我们是用指数价格，外汇汇率和期权价格来替换默顿模型中的股票价格，用指数的红利率，外汇的利率和期权的持有成本来替换股票的红利率。通过这些替换，我们可以运用默顿模型为本章考察的几种期权进行定价。二叉树模型也可以直接用来为这些期权定价。3. 二叉树模型可以用来对本章讨论的美式期权定价，尤其是用于美式
23、股票期权的定价，因为股票指数的红利支付实际上是离散的，而二叉树模型是标的资产支付离散红利的期权定价的理想工具。参考阅读1 美约翰赫尔著，张陶伟译. 期权、期货和衍生证券. 中译本. 北京：华夏出版社，19972 R.Kodb(1997)Understanding Futures Markets,5th(ed.), Cambridge: MA, Blackwell Publishing3 Fisher Black(1976) “Pricing of Commodity Contracts”, Journal of Financial Economics,3,March思考与练习1. 解释为什么外
24、汇的利率可以看成普通股的红利率。2. 为什么我们要假设期货的持有成本等于无风险利率？3. 解释如何根据红利支付的不同形式对树形图进行调整。4. 如果条款完全相同的欧式看涨期权和美式看涨期权的价格不同，这反映了什么？如果两个期权的价格相同呢？5. 考虑一个二叉树模型下的期货期权，假设期货价格为100.00，无风险利率是10，期货价格的标准差是0.4，期货的期限为一年，该期货的看涨和看跌期权的有效期也为一年，请计算参数u,d,p和第一期末的期货预期价格。它们反映了期货价格运动的什么特征？6. 外汇现在的汇率为2.5，期权的执行价格为2.0，有效期为90天，无风险利率为7，外汇汇率是4，汇率的标准差
25、为0.2。请运用默顿模型计算看涨期权和看跌期权的价格，并用三期的二叉树模型给欧式和美式期权定价。7. 考虑一个股票指数的看涨期权和看跌期权，指数现在的价格为500.00，期权的有效期为120天，指数的标准差是0.2，无风险利率是7。两个期权的执行价格都是500.00，指数将在第40天支付20点的红利。用两期的二叉树模型计算期权价格，画出指数和期权价格的树形图。8. 考虑两个欧式外汇看涨期权和两个欧式外汇看跌期权，执行价格分别为$0.90和$1.00，所以期权将在一年后到期，无风险利率是8，外汇利率是5，外汇的标准差是0.3，外汇现在的汇率是$0.8。运用默顿模型计算期权价格，比较期权价格和执行价格的比率，看看从中可以得出什么结论。