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1、第五章数列一、基 知 定 1 数列，按 序 出的一列数，例如 1，2， 3， n， . 数列分有 数列和无 数列两种，数列 an的一般形式通常 作 a1, a2, a3,， an 或 a1, a 2, a3,， an。其中 a1 叫做数列的首 ， an 是关于 n 的具体表达式，称 数列的通 。定理 1若 Sn 表示 an的前 n 和， S1=a1, 当 n1 ， a n=Sn -Sn-1.定 2等差数列，如果 任意的正整数n，都有 an+1-an=d（常数）， an称 等差数列， d叫做公差。若三个数 a, b, c 成等差数列，即 2b=a+c， 称 b 为 a 和 c 的等差中 ，若公差
2、 d, 则 a=b-d, c=b+d.定理 2等差数列的性 ： 1）通 公式 an =a1+(n-1)d； 2）前 n 和公式：n( a1 an )n(n1)Sn =na1d ； 3） an-am=(n-m)d ，其中 n, m 正整数； 4）若 n+m=p+q，22则 an+am =ap+aq； 5） 任意正整数 p, q，恒有 ap -aq=(p-q)(a2-a 1)； 6）若 A， B 至少有一个不 零， an是等差数列的充要条件是Sn=An 2+Bn.定 3等比数列，若 任意的正整数n，都有 an 1q ， an 称 等比数列， q 叫做公比。an定理 3等比数列的性 ： 1）an=a
3、1qn-1；2）前 n 和 Sn，当 qa1 (1q n )1 ， Sn =；当 q=121q0)， b 叫做 a, c 的等比中 ； 4）若 ， Sn=na1；3 ）如果 a, b, c 成等比数列，即 b =ac(bm+n=p+q， am an=ap aq。定 4极限， 定数列 an和 数 A，若 任意的0，存在 M ， 任意的 nM(nN),都有| an-A|， 称 A 为 n + 数列 an的极限， 作 lim anA.n定 5无 等比数列， 若等比数列 an的公比 q 足 | q|1 ， 称之 无 增等比数列，a1（由极限的定 可得） 。其前 n 和 Sn 的极限（即其所有 的和）
4、1q定理 3第一数学 法： 定命 p(n)，若：（1） p(n0)成立；（ 2）当 p(n)时 n=k 成立 能推出 p(n)对 n=k+1 成立， 由（ 1），（ 2）可得命 p(n) 一切自然数 n n0 成立。 常用定理定理 4第二数学 法： 定命 p(n)，若：（1）p(n0)成立；（ 2）当 p(n) 一切 n k 的自然数 n 都成立 （ kn0）可推出 p(k+1)成立， 由（ 1），（ 2）可得命 p(n) 一切自然数 n n0 成立。定理 5 于 次二 性 数列xn=axn-1+bxn-2 ， 它的特征方程 x2=ax+b 的两个根 , :(1)若 ， xn=c1 an-1+
5、c2 n -1，其中 c1, c2 由初始条件 x1, x2 的 确定； (2)若 = ， xn=(c1n+c2) n-1 ，其中 c1, c2 的 由 x1, x2 的 确定。二、方法与例 1不完全 法。 种方法是从特殊情况出 去 更一般的 律，当然 未必都是正确的，但却是人 探索未知世界的普遍方式。通常解 方式 ：特殊猜想数学 法 明。例 1 出以下几个数列的通 （不要求 明） ； 1）0 ，3， 8， 15，24， 35，； 2） 1， 5，19， 65，； 3） -1，0， 3， 8， 15，。nn2【解】 1） an =n2-1； 2）a n=3 -2 ； 3） an=n -2n .
6、例 2已知数列 an 足 a1=1,a1+a2+ +an=n2an, n 1，求通 an.2用心爱心专心【解】因 a1=12,又 a1+a2=22 a2,所以 a2=1， a3=aa21,猜想 an1323213(n 1).4n( n 1)1，猜想正确。2）假 当 n k 猜想成立。 明； 1）当 n=1 ， a1=12a1+ a1+ +a1=(k+1)2-1 ak+1,，当 n=k+1 ，由 假 及 ，所以111=k(k+2)a2132k(k1)k+1,即 111111=k(k+2)ak+1,223kk1所以k=k(k+2)ak+1,所以 ak+1=1.k1(k1)(k 2)1由数学 法可得
7、猜想成立，所以an.n(n1)例 3设 0a1.an【 明】 明更 的 ： 1an 1+a.1)当 n=1 ， 1a1=1+a，式成立；2)假 n=k ，式成立，即1an.又由 an+1=5an+24an21 移 、平方得an2110an an1 an210.当 n 2 ，把式中的n 成 n-1 得 a210aan 1a 2110 ，即nnn用心爱心专心an21 10an an 1 an21 0.因 an-1 an+1，所以式和式 明an-1, an+1 是方程 x2-10anx+an2-1=0 的两个不等根。由 达定理得 a n+1+ an-1 =10an(n 2).再由 a1=0, a2=
8、1 及式可知，当n N+ ， an 都是整数。3数列求和法。数列求和法主要有倒写相加、裂 求和法、 相消法等。例 6已知 an =1(n=1, 2, )，求 S99=a1+a2 + +a 99.n1004221004n4100 n【解】 因 an+a100-n=1+1100 =2n100100n1002100(4n100n)4242424199a100n )19999所以S99=(an21002101 .2 n 12例 7求和： Sn11+1.1 2 3 2 3 4n(n 1)( n 2)【解】一般地，1k2kk (k1)(k2)2k (k1)(k2)111，2k( k1)(k 1)(k2)n
9、1所以Sn=1)(k2)k 1 k( k1，21001111111212232334n(n1) (n1)(n 2)11122(n1)(n2)11.42(n1)(n 2)例 8已知数列 an 足 a1=a2=1， an +2=an+1+an, Sn 数列an的前 n 和，求 ： Sn 2。2 n【 明】由 推公式可知，数列an前几 1， 1，2 ，3， 5， 8，13。因 Sn112358an，22223245262n211235an所以Sn222345n 1。2222由-得1Sn1111an2an，22222222n 22n 1111an所以Sn2Sn22n 1。24又因 Sn-2 0,2n1
10、用心爱心专心所以 1Sn11 Sn, 所以 1Sn1 ，22442所以 Sn0，x12由可知 任意n N+， xn20 且 lgxn 122 lgxn2,xn2xn 12xn2所以 lgxn2是首 lg222 的等比数列。，公比 xn222xn222xn2222 n 1所以 lg2n 1， lg，所以xn222xn222解得 xn2 (22) 2n 1(22) 2 n 1( 22n 1(22 n 1 。2 )2)注：本例解法是借助于不 点，具有普遍意 。三、基 1 数列 xn 足 x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中 Sn 为 xn前 n 和，当n 2 ， xn=_.2. 数列 xn
11、足 x1= 1 ， xn+1=2xn,则 xn的通 xn=_.2 3xn 23. 数列 xn 足 x1=1， xn= 1 xn 1 +2n-1(n2)， xn 的通 xn=_.24. 等差数列 an 足 3a8=5a13，且 a1 0, Sn 前 n 之和， 当 Sn 最大 ， n=_.5. 等比数列 an 前 n 之和 Sn ,若 S10=10， S30=70， S40=_.6. 数列 xn 足 xn+1=xn-xn-1 (n 2)， x1=a, x2=b, Sn=x1+x2 + + xn， S100=_.7. 数列 an中， Sn=a1+a2 + +an =n2-4n+1 则| a1|+|
12、 a2|+ +| a10|=_.x1x2x3xn，并且 x1+x2+ + xn=8， x1=_.8. 若1 x23 x35xnx12n 19. 等差数列 an ，bn的前 n 和分 Sn 和 Tn，若 Sn2n， lim an =_.Tn3n 1nbn2007210. 若 n!=n(n-1) 2 1, 则( 1) n nn1=_.n1n!11若 an是无 等比数列，an 正整数，且 足a5 +a6=48, log2a2log 2a3+ log 2a 2 log2 a5+log2a2 log2a 6+ log 2a5 log2a6=36，求1的通 。an12已知数列 an是公差不 零的等差数列，
13、数列 ab 是公比 q 的等比数列，且 b1=1, b2=5,nb3=17, 求：（ 1） q 的 ；（2）数列 bn的前 n 和 Sn 。用心爱心专心四、高考水平 x1x1221已知函数 f(x)= 2x11x 1 ，若数列 a n 足 a 1=7 ， an +1=f(an)(n N+)， 23x1( x1)a2006=_.2已知数列 an 足 a1=1, an=a1+2a2 +3a3+ +(n-1)an-1 (n2)， an的通 1(n1).an =(n若 an=n2+2)3.n,且 an是 增数列， 数的取 范 是 _.4. 正 等比数列 an 的首 a1=1, 前 n 和 Sn, 且
14、210S30-（ 210+1）S20+S10=0， an =_.25.已知 limn 13nn1 ， a 的取 范 是 _.n3(a1)36数列 an 足 an+1=3an+n(n N+)，存在 _个 a1 ，使 an成等差数列； 存在 _个 a1 ，使 an成等比数列。7已知 ann401(n N+)， 在数列 an 的前 50 中，最大 与最小 分 是n402_.8有 4 个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中 16，第二个数与第三个数的和是12， 四个数分 _.9.设 an是由正数 成的数列， 于所有自然数n, an 与 2 的等差中 等于 Sn
15、与 2 的等比中 ，则 an=_.10. 在公比大于 1 的等比数列中，最多 有 _ 是在 100 与 1000 之 的整数 .11已知数列 an中， an0，求 ：数列an成等差数列的充要条件是11111a1 a2a2 a3a3 a4an an 1（ n 2）恒成立。a1 an 112已知数列 an和 bn 中有 an=an-1bn, b n=bn 1(n 2),当 a1=p, b1=q(p0, q0)且 p+q=1 ，an211（ 1）求 ： an0, bn0 且 an+bn=1（n N）；（ 2）求 ： an+1=an；（ 3）求数列 lim bn .an1n13是否存在常数a, b,
16、c，使 等式1 22+2 32+ +n(n+1)2= n( n1)(an2+bn+c)12 于一切自然数n 都成立？ 明你的 。五、 一 水平 972， 的数列共有1 等差数列的首 及公差均 非 整数， 数不少于3 ，且各 和 _个。2 数列 xn 足 x1=1, xn =4xn12 ， 通 xn=_.2xn173. 数列 an 足 a1=3, an0，且 3an2an51 ， 通 an=_.用心爱心专心4.n1已知数列 a0, a1, a2, , an , 足关系式 (3- an+1)(6+an)=18，且 a0=3， =_.i 0ai5.等比数列 a+log 23, a+log43, a+
17、log 83的公比 =_.6.各 均 数的等差数列的公差 4，其首 的平方与其余各 之和不超 100， 的数列至多有 _ 项 .7.数列 an 足 a1=2, a2=6,an 2an=2， 且1an1lima1a2ann2_.n8. 数列 an 称 等差比数列，当且 当此数列 足a0=0, an+1-qan构成公比 q 的等比数列，q 称 此等差比数列的差比。那么，由100 以内的自然数构成等差比数列而差比大于1 ， 数最多有 _ 项 .anan 为偶数9 h N+，数列 an定 ： a0=1, an+1=2。 ： 于怎 的h，存在anhan 为奇数大于 0 的整数 n，使得 an=1？10 akk 1 一非 整数列，且 任意k 1， 足 ak a2k+a2k+1，（ 1）求 ： 任意正整数n，数列中存在n 个 0；（ 2）求出一个 足以上条件，且其存在无限个非零 的数列。11求 ：存在唯一的正整数数列a