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1、拉格朗日形式： 1.力学系统的描述：,第六章 低速宏观运动规律的正则形式,运动规律的表述形式：牛顿形式、拉格朗日形式、哈密顿形式,3.优点:消除约束 场论 缺点:方程中 地位不平等,2.拉格朗日方程：,哈密顿形式: 1.力学系统的描述：,2.哈密顿方程（正则方程)：,3.优点:方程对称优美 量子力学 缺点:2s个方程（多一倍）,一、勒让德变换,由已知函数 f = f (x,y)， 可得其全微分：,两式相减：,又因为,1.6.1 哈密顿方程,二、哈密顿函数,由拉格朗日方程和广义动量的定义,哈密顿函数（拉格朗日函数）可以完全决定系统的运动,哈密顿函数的取值对应于系统的能量E。,三、哈密顿方程,哈密
2、顿方程 (正则方程),广义坐标和广义动量 随时间的变化,优缺点： 1哈密顿方程：2s个一阶微分方程， 拉格朗日方程：s个二阶微分方程简化数学计算； 2哈密顿方程中， 地位平等相互共轭的正 则变量； 3哈密顿函数有利于从经典力学向量子力学过渡。,四、最小作用量原理（变分原理）导出哈密顿方程,分步积分， 初值条件,哈密顿方程,逐项说明什么是函数的变分,由广义坐标 形成的空间叫位形（坐标）空间； 由 形成的空间叫相空间：3s维坐标空间和3s个动量空间 一起形成的一个6s维欧氏空间。,五、相空间,相空间的每一个点 对应于质点在这一时刻的坐标 和动量 可以完全决定质点在这一时刻的运动。,质点在相空间中的
3、代表点随时间t的变化所描出的 曲线称为质点的相轨迹。 对于周期运动，相轨迹是闭合曲线。,力学量用 来表示的例子： 1.一维线性谐振子： 2. 粒子的能量、角动量,1.6.1 守恒律 泊松括号 (Poisson Bracket),一、力学量对时间的导数,对于任意力学量f = f (p,q,t),哈密顿方程,定义泊松括号,说明： 1运用泊松括号可简洁地表示任一力学量随时间的变化， （回答了比正则方程更广泛的问题）。 2泊松括号形式很容易过渡到量子力学(对易关系）。 参见曾谨言量子力学下册p464-p466，或教材p464：,二、用泊松括号表示出的运动方程,用泊松括号表示运动方程（正则方程),(1)
4、,不显含时间t 的力学量守恒的充要条件是它和H的泊松括号等于零,三、能量守恒与动量守恒,推论1: 对不显含时间t的 f ,f 守恒,推论3: 设H不显含某一广义坐标 ,则,是循环坐标，对应的广义动量 守恒,推论2: 如果H不显含时间t , 那么系统能量守恒（保守系）,对两个任意函数 f 、g，其泊松括号定义为：,，,四、泊松括号的性质,基本的泊松括号(由正则变量组成),1反对易性 2乘积 3雅可比关系 4若c为常量，则 5. 线性,x：时间、广义坐标、广义动量等变量,1.6.3 正则变换 一、正则变换的定义,广义坐标的选取不唯一 直角坐标、球坐标、柱坐标. 通过坐标变换联系：,拉格朗日形式：
5、1.力学系统的描述：,2.拉格朗日方程：,拉格朗日方程形式一致：,新拉格朗日函数（将逆变换代入）：,逆变换,哈密顿形式: 1.力学系统的描述：,2.哈密顿方程（正则方程)：,相空间的变换以及时间的变换,和新哈密顿函数,满足正则方程形式一致：,则此变换被称为正则变换。,如果变换关系,通常 T=t,1、,2、相空间包含坐标空间，所以正则变换包含坐标变换。,说明：,3、可以证明，正则变换下相空间的体积不变 这个结论被称为Liouvilles Theorem（刘维尔定理）。,问题：如何找到所有的正则变换？,4、,类似地：,二、正则变换的生成函数 （间接方法寻找可能的正则变换）,由变分原理：,初值条件,
6、称为正则变换的生成函数,由生成函数得到正则变换,一种正则变换,又一种正则变换,由生成函数得到正则变换,同理：,+ 勒让德变换，导出dF,又一种正则变换,除了生成函数可以间接获得正则变换外， 也可运用其它时空变换、动量变换来获得。 主要步骤： 检验新坐标和动量以及新哈密顿是否满足正则方程。 主要目标： 运用系统的对称性来简化计算，或者发现新的守恒量。,解：这是由 生成的正则变换， 因此变换关系为,三、正则变换举例,恒等变换,由生成函数的表达式：,解：这是由 生成的正则变换， 因此变换关系为,相空间的 旋转变换,由生成函数的表达式：,解：这是由 生成的正则变换， 因此变换关系为：,正则变换出现了循环坐标Q， 对应的广义动量P是守恒量。,总结与展望,本课程 在理论物理系列课程中的地位 及其与后续课程的关系,低速宏观物体的运动 经典力学 教材第一篇,高速宏观物体的运动 相对论力学 教材第二篇第三章,高速微观物体的运动 相对论量子力学 教材第五篇第七章,低速微观物体的运动 量子力学 教材第五、六篇,宏观场的运动 经典电动力学 教材第二、三、四篇,微观场的运动 量子电动力学 教材 无,实 物,宏观 系统,1023粒子,