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1、微分方程稳定性分析,微分方程模型在 模型分析 中的主要问题之一 稳定性分析,用微分方程方法建立的动态模型问题 模型分析 中的一个 重要问题是：当时间充分长后 ，动态过程的 变化趋势 是什么？,微分方程模型中 , 方程 ( 组 ) + 初始条件 解,初始条件的作用在于确定解, 它的微小变化会产生不同的 解，换言之，对解的发展性态变化 , 往往具有影响作用 .,问题是这种对解的发展性态的影响作用是 长期存在 的 , 还是当时间充分大以后 , 影响作用会 “消逝 ” ?,（1）微分方程模型的稳定性及其实际意义,有时候 , 初始条件的微小变化会导致解的性态随时间变 大后 , 产生显著的差异 , 这时称
2、 系统是不稳定 的 ;,有时候 , 初始条件变化导致解的性态差异会随时间变大 后而消失 , 这时称该 系统是稳定 的.,在实际问题中, 初始状态不能精确地而只能近似地确定, 所以稳定性问题的研究对于用微分方程方法建立的模型 具有十分重要的实际意义。,也就是说，在具有稳定性特征的微分方程模型中, 长远 来看, 最终发展结果与精确的初始状态究竟如何 , 两者 之间没有多大关系, 初始状态刻画得精确不精确是无关 紧要的。,微分方程稳定性理论 可以使我们在很多情况下不求解 方程便可直接得到微分方程模型描绘的系统是 稳定 或 不稳定 的结论。,研究者对于微分方程稳定性理论的研究兴趣往往大于 该方程解有无
3、解析表达式的研究兴趣。,在数学建模竞赛活动中，很多问题中涉及到的微分方 程是一类称为 自治系统 的方程 。,自治方程 是指方程中不显含自变量 t 的微分方程，例如,自治方程 中的解随时间不断变大如有稳定变化趋势， 则这个解的 最终趋势值 只能是该方程的 平衡点 。,的 平衡点 是指代数方程,的根 （可能不止一个根） ；,的 平衡点 是 指代数方程组,的解 （可能不止一组解）。,如果存在某个邻域，使微分方程的解 x ( t ) 从这个邻域 内的某个点 x ( 0 ) 出发， 满足 :,则称微分方程 的 平衡点 是 稳定 的；,如果存在某个邻域，使微分方程的解 x ( t ) ， y ( t )
4、从这个邻域内的某个点 x ( 0 ) ， y ( 0 ) 出发， 满足 :,则称微分方程 的 平衡点 是 稳定 的。,上述 一阶自治方程 和 二阶自治方程组 解的 稳定性理论 结果可简介如下：,非线性方程 ( 一个方程 ) 情况,形式 : x( t ) = f ( x( t ) ),平衡点 : 解 f ( x ) = 0 , 得 x = x0 . 注意: 有时该方程的 根不止一个.,稳定意义 : 当 t 时, 如 x x0 , 则称 x0 是稳定的 平衡点; 否则称 x0 是不稳定平衡点.,由此 , 当 f ( x0 ) 0 时, x x0 ; 当 f ( x0 ) 0 时, x +.,(c)
5、 一阶非线性问题的稳定性结论 : 根据有关数学理论 , 一阶非线性问题的稳定性在非临界情况下，与一阶 线性问题结论完全相同.,.,研究方法 : (a) 作 f ( x ) 的线性替代 ( 利用一元函数的泰勒展开式 ) : f ( x ) f ( x0 )( x - x0 ) + f ( x0 ) = f ( x0 )( x - x0 ) ;,(b) 线性问题研究: 求解 x = f ( x0 )( x x0 ) , 解得,非线性方程 ( 两个方程 ) 组情况,平衡点: 解 f (x , y) = 0 , 得 x = x 0 g ( x , y ) = 0 , y = y 0 .,y ( t )
6、 = g ( x ( t ) , y ( t ) ),形式 : x ( t ) = f ( x ( t ) , y( t ) ) ,稳定意义 : 当 t + 时, 如 x x0 , y y0 , 则称 ( x0 , y0 ) 是稳定的平衡点 ; 否则称 ( x0 , y0 ) 是不稳定平衡点.,上面的方程组有时可能不止一组解.,研究方法 : 作 f ( x , y ) 与 g ( x , y ) 的线性替代（利用二元函数 的泰勒展开式）:,f ( x , y ) fx( x0 , y0 )( x - x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y - y0 ) ; g ( x , y )
7、g x( x0 , y0 )( x - x0 ) + g y ( x0 , y0 )( y - y0 ).,(b) 线性问题研究: 记 a1= f x( x0, y0 ) , a2 = f y ( x0, y0 ) , b1 = g x ( x0, y0 ) , b2 = g y ( x0, y0 ) ,p = - ( a1 + b2 ) , q = a1 b2 - a2 b1 , 并无妨设 x0 = 0 , y0 = 0 ;,求解,其中 1 , 2 为特征方程 r 2 + p r + q = 0 的两根 .,这里 1 +2 = - p , 1 2 = q,或写为,(1) 当 p 0 , q
8、0 时,如果 p2 4q 0，由 1 +2 = - p , 1 2 = q , 推得 1 与 2 均为负数 ，,故当 t + 时，e 1 t 与 e 2 t 均趋于零 ， 系统稳定 ;,如果 p2 4q 0，由 1 +2 = - p , k = i 中 为负数 （ k = 1 ，2 ） ，,故当 t + 时，ek t = et（ sint cost ） （ k = 1 ，2 ） 也均趋于零 ， 系统仍为稳定的 ；,(2) 当 p 0 时,如果 p2 4q 0 ，由 1 +2 = - p , 可推出 1 与 2 中至少有一个为正数，,故当 t + 时，e1 t 与 e2 t 中至少有一个 趋于
9、+ ，系统不稳定 ;,如果 p2 4q 0，仍由 1 +2 = - p , 可推出 k = i （ k = 1 ，2 ） 中 为正数 ，,故当 t + 时, ek t = et（ sint cost ） （ k = 1 ，2 ） 趋于 + ，仍可推出 系统不稳定 。,(3) 当 q 0 时 , 此时必定有 p2 4q 0 ，,此时 系统也必不稳定 。,由 1 2 = q , 可推出 1 与 2 中至少有一个为 正数，,故当 t + 时，e1 t 与 e2 t 中至少有一个趋于 + ，,当 p 0 , q 0 时 , 相应的平衡点是稳定的；,当 p 0 或当 q 0 时 , 相应的平衡点是不稳定的。,综述之，在线性方程组非临界（p 0 ) 情况中,(C) 非线性问题的 稳定性结论 :,(i) 若相应的线性问题是 稳定 的 , 则对应非线性问题也 是 稳定 的 ；,(ii) 若相应的线性问题是 不稳定 的, 则对应非线性问题 也是 不稳定 的.,在非临界情况下 （p 0 ) ，,