相关与回归分析方法介绍.ppt

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1、2021/2/7,1,第八章 相关与回归分析 Correlation Regression Analysis,章前导语： 1、有其父，必有其子。 -古人和现代人都这么说 2、“真的，”公爵夫人说：“火烈鸟和芥末都很刺鼻。那意思是说物以类聚。” “但芥末并不是鸟。” Alice说。 “是的，象往常那样，”公爵夫人说，“你具有多么清晰的表达方式！” - Alice漫游奇境记,2021/2/7,2,第八章 相关与回归分析,Statistics in Practice 消费者应该留下多少小费？ 在西方国家餐饮等服务行业有一条不成文的规定，即发生餐饮等服务项目消费时，必须给服务员一定数额的小费，许多人都

2、听说小费应该是账单的16%左右，是否真的如此呢？让我们来考察表8-1，表中的数据是经过调查所得的样本数据，通过对这几组数据的分析与观察，我们能发现两者之间的数量关系。,2021/2/7,3,Statistics in Practice,问题： 1、是否有足够的证据断定：在账单与小费数额之间存在某种联系？ 2、如果存在某种联系，怎样使用这种联系来确定应该留下多少小费？ 本章的重点就是基于成对出现的样本数据做出一些推论。如上例，我们想要确定账单与小费数额之间是否存在某种联系，如果存在，我们就想用一个公式来描述它，这样就能找出人们留小费时遵循的规则。类似这样的问题还有很多，如： （1）犯罪率与偷窃率

3、； （2）香烟消费与患癌症率; （3）个人收入水平与受教育年限；（4）血压与年龄； （5）父母身高与子女身高； （6）薪金与酒价等等。,2021/2/7,4,主要内容,8.1 相关关系概述 一、变量间的相互关系 二、相关关系的种类 三、相关分析的内容及其假定 8.2 线性相关关系的测定 一、相关图表 二、相关系数 8.3 回归分析 一、回归分析概述 二、一元线性回归方程的拟合 三、回归分析的方差分析 四、一元线性回归模型的检验 五、对回归分析结果的评价 六、多元线性回归分析,2021/2/7,5,8.1 相关关系概述,一、变量间的相互关系 （一）函数关系 定义：完全确定的（数量）关系。 （1）

4、某一（组）变量与另一变量间存在着一一对应的关系； 例计件工资（y）与产量（x） y=f(x)=10 x； x0=1件， y0=10元； x1=2件， y1=20元 圆的面积SR2，R=10，S=100 （2）表述：y=f(x)。 （二）相关关系 、定义：不完全确定的关系。 （1）某一（组）变量与另一变量间有关系，但并非一一对应；,2021/2/7,6,一、变量间的相互关系,例身高y与体重x； A：x=60kg、y=170m； B： x=60kg、y=1.72m； C：x=60kg、y=1.68m； D： x=60kg、y=1.65m。 （2）表述：y=f(x)+。 影响身高的因素：体重、遗传、

5、锻炼、睡眠质量 2、成因 （1）某些影响因素尚未被认识；（2）虽已认识但无法测量； （3）测量误差。 例某种水果P元/斤： 购买额 y=Px 购买量 x=2斤 y=2P+=21.9+0.2 3、数量关系的形式 （1）单一因果关系 ；（2）互为因果关系 ；（3）伴随关系 。,2021/2/7,7,二、相关关系的种类,（一）按相关的程度分 1、完全相关：函数关系； 2、不相关：没有关系； 3、不完全相关。 （二）按相关的方向分 1、正相关：变量的变动方向一致（同增同减）； 2、负相关：变量的变动方向相反（一增一减）。 （三）按相关的形式分 1、线性相关； 2、非线性相关。,2021/2/7,8,二

6、、相关关系的种类,相关程度密切,相关程度不密切,2021/2/7,9,二、相关关系的种类,（四）按影响因素的多少分 1、单（简单）相关：只有一个自变量； 例学习成绩与学习时间；血压与年龄；亩产量与施肥量。 2、复（多元）相关：两个或两个以上的自变量 ； 例经济增长与人口增长、科技水平、自然资源、管理水平等之间的关系； 体重与身高、食欲、睡眠时间之间的关系。 3、偏相关：就多个变量测定其中两个变量的相关程度而假定其他变量不变。 例就y=ax1+bx2+ ，研究y与x1之间的关系，假定x2不变。,2021/2/7,10,相关分析要解决的问题 变量之间是否存在关系？ 如果存在关系，它们之间是什么样的

7、关系？ 变量之间的关系强度如何？ 样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系？ 为解决这些问题，在进行相关分析时，对总体有以下两个主要假定 两个变量之间是线性关系 两个变量都是随机变量,三、相关分析的内容及其假定,2021/2/7,11,8.2 线性相关关系的测定,目的测定变量间的相关方向与密切程度。 一、相关图表 （一）相关表 1、单变量分组相关表：自变量分组且计算次数，因变量只计算平均数。,2021/2/7,12,一、相关图表,2、双变量分组相关表：对自变量与因变量均进行分组。 注：自变量X轴；因变量Y轴。,2021/2/7,13,正 相 关,负 相 关,曲线相关,不 相 关,又

8、称散点图，用直角坐标系的x轴代表自变量，y轴代表因变量，将两个变量间相对应的变量值用坐标点的形式描绘出来，用以表明相关点分布状况的图形。,一、相关图表,不足难以精确反映相关的密切程度。,（二）相关图,2021/2/7,14,二、相关系数,二、(线性)相关系数 （一）积差法计算公式,在线性相关的条件下,用来反映变量之间相关方向及程度的统计指标,用r ()表示。,2021/2/7,15,二、相关系数,注解1 协方差Cov(x,y)的作用 1、显示x与y之间的相关方向。,正相关,2021/2/7,16,二、相关系数,负相关,2021/2/7,17,二、相关系数,2、显示x与y之间的相关程度。,正相关

9、,2021/2/7,18,二、相关系数,负相关,2021/2/7,19,二、相关系数,无线性相关,2021/2/7,20,二、相关系数,归纳 Cov(x,y)的作用 第一、显示x与y之间的相关方向,第二、显示x与y之间的相关密切程度,2021/2/7,21,二、相关系数,注解2 sx、sy的作用 1、使不同变量的协方差标准化直接对比。,2021/2/7,22,二、相关系数,2、使,2021/2/7,23,二、相关系数,（二）积差法相关系数的简捷计算公式,2021/2/7,24,二、相关系数,r的简捷计算公式,2021/2/7,25,二、相关系数,r的简捷计算公式,2021/2/7,26,二、相

10、关系数,（三）线性相关的经验判断准则,例为了解餐饮业消费数额与小费之间的数额关系，特从若干名消费者中随机抽取10名消费者进行调查，所得数据如下：,2021/2/7,27,二、相关系数,例计算过程。,2021/2/7,28,二、相关系数,解,答：账单消费额与小费之间存在着高度的正相关关系。,2021/2/7,29,二、相关系数,问：若令账单消费额为y，小费为x，则r的取值是否改变 ?,2021/2/7,30,二、相关系数,（四）样本相关系数的特点 1、两变量均为随机变量； 2、两变量的地位是平等的 rxy= ryx； 3、取值范围-1，1，其接近于1的程度与样本容量n有关。 n小，r 1。特例：

11、当n = 2时，r = 1。 例样本（x,y）为（6,12.6）,（1,3.0）, n = 2。,2021/2/7,31,二、相关系数,（五）关于相关的普遍错误 在解释关于相关的结果中会出现以下三种普遍的错误： 1、相关就一定意味着因果关系。如：一项研究表明，统计学教授的薪金与每人的啤酒消费量之间有很强的正相关关系，但这两个变量都受经济形势（隐藏变量）的影响。 2、相关系数为0，一定不相关。 3、基于平均数进行相关分析与基于个体数据进行相关分析，其相关程度不一样。如：一项研究中，关于个人收入和教育的成对数据产生了一个0.4的线性相关系数，但当使用区域平均时，线性相关系数变为0.7。,2021/

12、2/7,32,二、相关系数,（六）线性相关的假设检验（两种方法） 1、提出原假设与备择假设 2、给定显著性水平 3、选择检验方法，构建检验统计量 4、将检验统计量与临界值比较，如检验统计量的绝对值大于临界值，则拒绝原假设，否则，就不拒绝原假设。 t检验法 r检验法：用已经算好的r作为检验统计量，其临界值可以通过查表得到。,2021/2/7,33,二、相关系数,（六）线性相关的假设检验（两种方法） 如袭前例：账单与小费之间的r=0.92，若用t检验法： r检验法： N=10, r=0.92, r=0.632, r r 拒绝原假设，则认为两者存在显著的线性相关。,2021/2/7,34,二、相关系

13、数,一些人相信他们手掌生命线的 长度可以用来预测他们的寿命。 M.E. Wilson和L.E. Mather在 美国医学协会学报上发表的一封信 中，通过对尸体的研究对此给予了驳斥。 死亡时的年龄与手掌生命线的长度被一 起记录下来。作者得出死亡时的年龄与 生命线的长度不存在显著相关的结论。 手相术失传了，手也就放得下了。,看手相：,2021/2/7,35,8.3 回归分析,一、回归分析概述 （一）概念 1、回顾线性相关分析：计算线性相关系数 r 确定两变量之间的相关方向与密切程度。 不足无法表明两变量之间的因果关系 无法从一个或几个变量（xi）的变化来推测另一个变量（y）的变化情况。 10名用餐

14、顾客消费金额与所付小费数据如下： r=0.92,2021/2/7,36,一、回归分析概述,2、回归分析：通过一个（些）变量的变化解释另一变量的变化 y = a+bx 、 y=a+b1x1+bx2 、 y=0+ 1x1+ 2x2+ nxn 回归英国生物学家 F Galton 首次提出。 父辈身高 子辈身高 x y y = f（x）+ 人类的平均身高。 目的在于通过X的已知或设定值，去估计或预测Y的（总体）均值。 变量Y是被预测或被解释的变量，称为因变量(Dependent Variable)或被解释变量（Explained Variable） 变量X是用来预测或解释因变量的变量，称为自变量（In

15、dependent Variable）或解释变量（Explanatory Variable）,2021/2/7,37,一、回归分析概述,（二）回归分析的种类 1、按自变量的多少分 （1）简单（一元）回归：自变量只有一个 。 例 y = a+bx 一元回归方程 （2）复（多元）回归：自变量为两个或两个以上。 例 y=0+ 1x1+ 2x2+ nxn 2、按回归方程式的特征分 （1）线性回归：因变量为自变量的线性函数。 例 y = a+bx 一元线性回归方程 （2）非线性回归：因变量为自变量的非线性函数。 例,2021/2/7,38,1.定义：描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程

16、称为回归模型。 2.一元线性回归模型可表示为 y = b0 + b1 x + e y 是 x 的线性函数(b0 + b1 x部分)加上误差项 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化 误差项 是随机变量 反映除了x 和 y 之间的线性关系以外的随机因素对 y 的影响 是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性 0 和 1 称为模型的参数,一、回归分析概述,（三） 一元线性回归模型 . 回归模型(regression model),2021/2/7,39,3.一元线性回归模型的基本假定,（1）误差项是一个期望值为0的随机变量，即E()=0。对于一个给定的 x 值，y 的期望值为

17、 E( y ) = 0+ 1 x （2）对于所有的 x 值，的方差2 都相同，即Var(i)=E(i2)=2 （3）误差项之间不存在自相关关系，其协方差为0，即Cov(i,j)=E(ij)=0(i j) （4）误差项是一个服从正态分布的随机变量，即N(0 ,2 ) （5）自变量是给定的变量，与随机误差项线性无关。 以上这些基本假设是德国数学家高斯最早提出的，故也称为高斯假定或经典假定。,一、回归分析概述,2021/2/7,40,.回归方程 (regression equation),定义：描述 因变量y 的期望值如何依赖于自变量 x 的方程，称为回归方程 一元线性回归方程的形式如下 E( y

18、) = 0+ 1 x,方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程 0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时， y 的期望值 1是直线的斜率，表示 x 每变动一个单位时，y 的平均变动值,一、回归分析概述,2021/2/7,41,.估计的回归方程 (estimated regression equation),一元线性回归中估计的回归方程为,用样本统计量 和 代替回归方程中的未知参数 和 ，就得到了估计的回归方程,总体回归参数 和 是未知的，必须利用样本数据去估计,其中： 是估计的回归直线在 y 轴上的截距； 是直线的斜率，表示 x 每变动一个单位时，y 的平均变动值,一、回归分析概述,2

19、021/2/7,42,一、回归分析概述,（四）回归分析的步骤 1、确定自变量和因变量； 例粮食产量（y） 施肥量（x）； 消费支出（ y ） 国民收入（ x ）； 火灾损失额（ y ） 火灾发生地与最近一个消防站之间的距离（ x ）。 2、确定样本回归方程； 3、参数估计与模型检验； 4、预测或控制。 例 消费与收入的回归方程： y= a+bx= 200+0.15x 已知x，确定y：估计或预测 已知y，确定x：控制,2021/2/7,43,相关分析中x与y对等，回归分析中x与y要确定自变量和因变量； 相关分析中x、y均为随机变量，回归分析中只有y为随机变量； 相关分析测定相关程度和方向，回归分

20、析用回归模型进行预测和控制。,区别：,一、回归分析概述,（五）回归分析与相关分析比较,2021/2/7,44,理论和方法具有一致性； 相关分析是回归分析的基础和前提，无相关就无回归，相关程度越高，回归越好； 回归分析是相关分析的继续和深化； 相关系数和回归系数方向一致，可以互相推算。,联系：,一、回归分析概述,（五）回归分析与相关分析比较,2021/2/7,45,二、一元线性回归方程的拟合,（一）总体回归方程,2021/2/7,46,二、一元线性回归方程的拟合,Yi/Xi=条件均值+i =0+1Xi+ i,2021/2/7,47,二、一元线性回归方程的拟合,（二）样本回归方程 从总体中随机取样

21、，获取一组样本观察值。,2021/2/7,48,二、一元线性回归方程的拟合,图示,2021/2/7,49,二、一元线性回归方程的拟合,（三）样本回归方程的拟合方法 1、绝对值拟合法,2、最小二乘法（OLS法） 基本思路：使残差平方和最小的直线“最优直线”。,2021/2/7,50,二、一元线性回归方程的拟合,总可以设法找到一对 的取值，使Q为最小值。,2021/2/7,51,二、一元线性回归方程的拟合,将上式代入（2）式，得,2021/2/7,52,二、一元线性回归方程的拟合,计算公式,2021/2/7,53,二、一元线性回归方程的拟合,相关系数r与回归系数 之间的关系,（1）两者是同向的；

22、（2）r反映变量的相关方向与密切程度； 反映自变量每变动一个单位时因变量的平均变动量。,2021/2/7,54,1. 线性特征 是 的线性函数,2. 无偏特性 3. 最小方差特性 在所有的线性无偏估计中，OLS估计 具有最小方差 结论：在经典假定条件下，OLS估计量是最佳线性无 偏估计量（best linear unbiased estimator,BLUE）。,(四）OLS估计量的性质(高斯马尔柯夫定理),二、一元线性回归方程的拟合,2021/2/7,55,二、一元线性回归方程的拟合,例为研究用餐消费与小费支出的关系，随机抽取了10位用餐顾客，得样本数据如下：,请拟合小费依消费的直线回归方程

23、,样本的相关系数r=0.92,2021/2/7,56,二、一元线性回归方程的拟合,例为研究用餐消费与小费支出的关系，随机抽取了10位用餐顾客，得样本数据如下（用Excel软件生成的折线图）,请拟合样本回归方程,2021/2/7,57,二、一元线性回归方程的拟合,解：通过散点图可近似看出小费与用餐消费之间呈线性关系，故设两者之间关系为,经济意义：餐费每增加100元，小费支出平均增加16.55元。,2021/2/7,58,三、回归方程的方差分析,（一）总离差平方和的分解,2021/2/7,59,三、回归方程的方差分析,由：,2021/2/7,60,三、回归方程的方差分析,离差分析,2021/2/7

24、,61,残差平方和,回归离差平方和,总离差平方和,2021/2/7,62,三、回归方程的方差分析,（二）判定系数,SSR占SST的比例，用 表示；用来衡量回归方程对y的解释程度。,2021/2/7,63,三、回归方程的方差分析,判定系数的作用,总离差 平方和 SST,回归平方和 SSR,残差平方和 SSE,来自样本回归线,来自残差,回归线上的点与样本均值离差的平方和,判定系数(coefficient of determination)的取值范围：0，1，越接近1，说明实际观测点离样本线越近，拟合优度越高。,在给定样本中，SST不变，如果实际观测点离样本回归线越近，则SSR在SST中占的比重越大

25、，因此回归直线的拟合优度可用下面的判定系数（可决系数）测度：,实际观测点与回归线上的点的离差的平方和,2021/2/7,64,三、回归方程的方差分析,（三）判定系数R2与相关系数r的关系,2021/2/7,65,判定系数与相关系数的区别,判定系数无方向性，相关系数则有方向，其方向与样本回归系数1相同； 判定系数说明变量值的总离差平方和中可以用回归线来解释的比例，相关系数只说明两变量间关联程度及方向； 相关系数有夸大变量间相关程度的倾向，因而判定系数是更好的度量值。,三、回归方程的方差分析,2021/2/7,66,三、回归方程的方差分析,（四）估计标准误差 1、定义：观察值与回归值之间的平均误差

26、。 2、公式,2021/2/7,67,三、回归方程的方差分析,图示,2021/2/7,68,线性回归模型的检验分二大类：,统计检验,计量经济检验,从统计学的角度检验 所估计的样本回归函数的有效性,从基本假设是否成立这一角度检验 最小二乘估计法的适用性及其改进,拟合优度检验,显著性检验,四、一元线性回归模型的检验,本课程只学习统计检验： 1、拟合优度检验 拟合优度检验主要用来检验样本回归函数与实际观测点的“接近”程度，可用判定系数(或相关系数、估计标准误差）测度。,2021/2/7,69,（1）线性关系的检验,检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著，即各解释变量前的参数是否不全为零。 如果总体

27、上线性关系成立，则Y的总离差平方和中，可由该线性回归函数解释的部分（系统性因素）所占比重较大，残差平方和（随机性因素）所占比重较小，从而使得回归平方和与残差平方和的比值较大。 将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著,其中，k表示模型中回归参数的个数，n为样本容量。,2、显著性检验,2021/2/7,70,线性关系检验的步骤,提出假设 H0：1=0 线性关系不显著,2. 计算检验统计量F,确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F 作出决策：若FF （P），不拒绝H0,2021/2/7,71,（2）回归系数的检验,采用t检验

28、 在一元线性回归中，等价于线性关系的显著性检验,理论基础是回归系数 的抽样分布,对各回归系数的显著性检验主要是通过样本考察总体回归系数的“可能取值”。 回归分析中，主要是针对总体参数是否为某一值（一般设为零）来检验自变量 x 对因变量 y 的影响是否显著的（为什么？）,2021/2/7,72,样本统计量 的抽样分布,是根据最小二乘法求出的样本统计量，它有自己的分布 的分布具有如下性质 分布形式：正态分布 数学期望： 标准差： 由于 未知，需用其估计量se来代替，得到 的估计标准差,2021/2/7,73,回归系数检验的步骤,提出假设 H0: b1 = 0 (没有线性关系) H1: b1 0 (

29、有线性关系) 计算检验的统计量,确定显著性水平，并进行决策 若 tt ，则拒绝H0；若 tt ，就不拒绝H0,用Excel进行相关和回归分析,2021/2/7,74,五、对回归分析结果的评价,建立的模型是否合适？或者说，这个拟合的模型有多“好”？要回答这些问题，可以从以下几个方面入手： 所估计的回归系数 的符号是否与理论或事先预期相一致 如果理论上认为x与y之间的关系不仅是正的，而且是统计上显著的，那么所建立的回归方程也应该如此 回归模型在多大程度上解释了因变量y取值的差异？可以用判定系数R2来回答这一问题 考察关于误差项的正态性假定是否成立。因为我们在对线性关系进行F检验和回归系数进行t检验

30、时，都要求误差项服从正态分布，否则，我们所用的检验程序将是无效的。正态性的简单方法是画出残差的直方图或正态概率图,2021/2/7,75,六、多元线性回归分析,1、多元线性回归模型 多元线性回归模型：是指在线性相关的条件下，研究2个或2个以上自变量与因变量之间的数量关系。其模型为： y=0+ 1X1 2X2+ nXn+ei 2、多元线性回归模型参数的估计：最小平方法。 求解回归系数的估计值，通常用统计软件。 其方程用矩阵表示为：,2021/2/7,76,本章小节,一、变量间关系的种类； 二、相关系数的计算、评价及检验 三、回归模型、回归方程、估计回归方程的概念，回归方程参数的最小二乘估计； 四、判定系数、估计标准误差的计算，及线性关系检验及回归系数的检验,