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1、浅谈对数学美的认识 【标题】浅谈对数学美的认识 【作者】王 粒 志 【关键词】数学美?和谐性?简洁性?对称性?奇异性 【指导老师】 【专业】数学与应用数学 【正文】1引言爱美之心，人皆有之，人们执著地追求美。但什么是美？却只能意会，不能言传。然而当我们聆听一首优美的乐曲，观看一幅精美的图画，或置身于幽雅的大自然中，我们便会全身心地感到愉悦，受到一种美的陶冶。可是除了艺术的美、大自然的美外，人们是否想到科学也有美，数学也有美呢？有不少中小学生认为学习数学很艰苦、枯燥无味，不存在什么美感的问题。只是为了考试，为了升学而不得不学习数学。数学果真无美感可言吗？否。古今中外有许多知名学者都认为数学是美的
2、，并作过精辟的论述。古希腊学者毕达哥拉斯说：“美就是和谐，整个天体是一种和谐，宇宙的和谐是由数组成的，因而构成了整个宇宙的美。”提出了数的美的三段论。英国哲学家、数学家罗素认为：“数学，如果正确地看它，不但拥有至高的美，是一种冷而严肃的美。这种美不是投合我们天性脆弱的方面，这种美没有绘画或者音乐那种华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到只有伟大的艺术才能谱写的那种完美的境地。”这就道出了美的特殊性。香港旅美数学家、菲尔兹奖获得者丘成桐说：“数学家寻美的境界，讲求简单的定律，解决实际问题，而这些因素都永远不会远离世界。”即数学有取之不尽的源泉。关于数学美论述，虽然说法不一，但由于各人的角度
3、不同，所以可以相互补充。概括起来，数学美的主要内容包括：和谐性、简洁性、对称性和奇异性。2数学美的主要内容2.1和谐美?统一，和谐，这是数学美的一个侧面。对称可以说是和谐的表现之一，但统一、和谐有更广泛的表现。?数学的统一性，一般是指部分与部分、部分与整体之间的和谐、平衡和一致。正如庞加莱在谈到数学的雅致感时所指出的，雅致感“是各部分的和谐，是它们的对称、它们的巧妙平衡；一句话，雅致感是所有引入秩序的东西，是所有给出统一、容许我们清楚地观察和一举理解整体和细节的东西。”统一性是数学结构美的重要标志，通常表现为数学概念、规律、方法的统一，数学理论的统一，数学与其它科学的统一。天得一以清，地得一以
4、宁，万物得一以生。宇宙的统一性表现为宇宙的统一美。因而能揭示宇宙统一的理论，即被认为是美的科学理论?。毕达哥拉斯学派主张：“万物最基本的元素是数的和谐，这就是美。”例如：在计算柱体、台体、锥体等不同形状几何体体积时有统一公式；椭圆、双曲线、抛物线有统一的极坐标方程；大数学家欧拉竟用7个不相关的数学符号联在一起开辟了复数的另一种表达形式：?。可以断言，和谐与统一是数学发展的一个基本规律。和谐的美，在数学中多得不可胜数，如著名的黄金分割比，即061803398；在正五边形中，边长与对角线长的比例为黄金分割比。?数学中有一个很著名的菲波那契数列?，定义如下?：?，?；当 n3时?，可以证明，当n趋向
5、?时，?极限是：?。?维纳斯的美被所有人所公认，她的身材比也恰恰是黄金分割比。?黄金分割比在许多艺术作品和建筑设计中都有广泛的应用。达?芬奇称黄金分割比为“神圣比例”，他认为“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上”。矩阵、行列式在数学当中起多方面作用，它在几何研究中也起作用。它把几何图形的某些内在联系揭示得很清楚，从而也使我们更容易看清它们之间的和谐、统一。平面上过点（?，?）和（?，?）的直线方程是：?；平面上过点（?，?）、（?，?）和（?，?）的圆（三点不共线）的方程是：?平面上所有的直线都由一次方程?来表示，而直线的性质就由系数?，b，c来决定。而平面上所有的二次曲线由方程?来描述
6、，曲线的性质也由系数?，b，c，d，e，f来决定。具体来说就取决于它们所组成的3个量：?，。?与?这两个量是平移变换和旋转变换下的不变量。具体结论是：?当0时：? 0，此二次曲线为椭圆；? 0，此二次曲线为双曲线；?=0，此二次曲线为抛物线。?当?=0时：? 0，为点椭圆；? 0，为相交两直线；?=0，为平行两直线或相重两直线。?1是一个最简单的数，但同时可以说一切数起源于1。越来越复杂的数系如：自然数，由1演变出所有自然数：2，3，4，5，6，?；后来再加进它们的相反数：-1，-2，-3，-4，；它们依然是和谐的，而且起源于1。2.2简洁美?同和谐性相关联，简单性也是数学家所追求的目标，因而
7、数学中充满着简单性的美。数学中的简单性美突出地表现在以下几个方面：（1）、数学中的简单性表现在对公理的要求上。对于单个公理来说，它必须是“自明的”，即公理的叙述必须是简单明了的。对一个公理系统来说，它适合的公理个数应尽可能地少。几何原本中的全部结论，只是从少数几条公理通过演绎而得来的，这就是一种典型的简单美的体现。难怪牛顿曾赞叹道：“几何学之所以堪称辉煌，就在于它只从很少的几条公理出发，而最终却得到了如此之多的结果。”（2）、数学中的简单性表现在问题解决的简单性上。加德纳说：“数学的真谛就在于不断寻找用越来越简单的方法证明定理和数学问题”，法国哲学家狄德罗说：“算学中所谓美的问题，是指一个难于
8、解决的问题，所谓美的解决，是指一个困难复杂问题的简易回答。”哈代也说过：“一个数学证明应该象一个简单而轮廓分明的星座，而不是银河系中杂乱无章的星群。”例如：求证：?是无理数。分析：如果从正面去说明它是无理数，那么要通过对2开方，计算出它确是一个无限不循环小数。实际上，这是不可能做到的，你可以开方到小数点后百位、千位、亿万位，但永远计算不到无限，可是从“反面”来证明，情况就不同了，不仅能证明而且很简洁。?证明：假设?不是无理数，即?是有理数?(或可比数)，那么它必可表示为不可约的分数，即?=?，两边平方得?，可见q必为一偶数，记为 q=2m(m为正整数)，于是有?，又得，这样 P也成了偶数。因此
9、我们得到一个矛盾：P与q都是偶数，从而?是可约分数。例如：姐妹俩人分别从相距60公里的A、B两地相向而行，姐姐带一只家犬，出发时跑向妹妹，遇到妹妹立即返回跑向姐姐如此反复，直至姐妹俩人相遇，问小狗共跑了多少路程?其中姐姐的速度为每小时6公里，妹妹的速度为每小时4公里，小狗的速度为每小时7公里分析：本题小狗跑的路程来来回回很复杂，若把小狗来来回回跑的路程相加，计算起来难度太大，似乎无法计算如果跳出复杂的过程，注意到小狗所用的时间应是两人相遇的时间，则令人茅塞顿开。解：两人相遇所需的时问为60(6+4)=6(小时)小狗跑的路程为：67=42(公里)。一个数学定理或数学理论，不仅能用简单和优美的方法
10、对大量的彼此毫无联系的个别情况加以描述并进行分类，而且也期望它在“建筑”结构上的优美。历史上著名的“七桥问题”就是一个很好的例子：l8世纪时，东普鲁士的哥尼斯堡市城内有一条大河，河中有两个小岛，全城被大河分隔成A、B、C、D四块陆地河上架有七座桥，把四块陆地像图2.1那样连接在一起。当时许多市民都热衷于解决如下的一个难题：一个散步者能否从某一块陆地出发，不重复地经过每一座桥一次，最后回到原来出发点。这个问题似乎不难解决，试验起来也比较容易，所以许多人都跃跃欲试，但是日复一日谁也没有成功。于是有人写信向当时的大数学家欧拉求教。欧拉并没有徒劳无益地再去重复人们巳多次失败了的试验，而是首先产生了一种
11、直觉的猜想：许多人千百次的失败，也许意味着这样的走法根本就不存在。于是欧拉把“七桥问题”进行了数学的抽象，用A、B、C、D四个点表示四块陆地，用两点问的一条连线表示连接两块陆地之间的一座桥，就得到如图2.2那样的一个由一些点和线组成的一个“图”。于是所谓的“七桥问?题”就转化为图2.2是否可以一笔画就的问题。欧拉的证明十分简单：如果一个图可以一笔画的话，那么除了起点和终点之外，任何一个中间点都必须与偶数条线相连。因为中间点不是起点，画笔必然沿某一条线到达此点，又由f它不是终点，画笔又必然要沿另一条线离开此点，并且进入此点几次，就要离这点同样多次，一进一出，两两配对，所以与中间点相连的线必须是偶
12、数条(这样的点称为偶点)。这就证明了：一个可以一笔画的图最多只能有两个点(即起点和终点)可以是奇点。而在图2.2中，A、B、C、D都与奇数条线相连，即都是奇点，所以图2.2是不能一笔画的，而证明了“七桥问题”的答案是否定的。?图2.1 图2.2（3）、数学中的简单性不但表现在形式的简明扼要上，还突出地表现在数学的概括性上。朴素，简单，是其外在形式；若能既朴实清秀，又底蕴深厚，才可谓“至美”。?欧拉给出的公式：V-E+F=2，堪称“简单美”的典范。世间的多面体究竟有多少?没有人能够说得清楚，但它们的顶点数V、棱数E、面数F，都必须服从欧拉给出的公式。一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特
13、性。岂能不令人惊叹不已由此还可派生出了许多同样美妙的东西。?在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用重大的定理还有许多。比如：?圆的周长公式：C=2 R?。?勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方。?正弦定理：若 ABC的外接圆半径为R，则?数学的这种简洁美，用几个定理是不足以详尽的，数学历史中每一次进步都使已有的定理更为简洁。正如希尔伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。(4)、数学语言的简洁性是数学美的简单性的又一表现。叙述一个概念，在准确、完备的前提下，还要力求简洁，这是数学语言的特点。数学语言是一种符号语言，这种符号语言
14、与自然语言的区别在于，它不但比自然语言具有更强的准确性，而且其中的“无限增大”与“无限接近”两词含意不确切，但用“?”这种数学语言来定义，不但非常简洁，而且严格准确。2.3对称美在日常生活中，我们可以看到许多对称的图案，对称的建筑物。绘画中利用对称的手法，文学作品中也运用。数学中的对称更是它的一种美丽。在几何图形中，有所谓点对称、线对称、面对称。球形既是点对称的，又是线对称的，还是面对称的。古希腊学者认为：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形。”这种赞美，其原因很可能是基于球形、圆形的对称性、匀称性。我们知道复数?与复数?是共轭的，在复平面上，这两个相应的点也是对称的。这种
15、对称性还告诉我们一些可靠的结论，例如，假如?是某实系数多项式的根，那么对称的?亦必是其根。二项式展开显示出很强的对称形式，注意到?，?，就可写出：?，在这个式子中，?与b的位置交换结果是不变的。把这个式子的右端系数按n=1，2，排列出来就是1? 1?1? 2? 1?1? 3? 3? 1?1? 4? 6? 4? 1?1? 5? 10? 10? 5? 11? 6? 15? 20? 15? 6? 1用不着计算，你就可以根据对称性及上排的数字写出下排的数字，一直写下去。集合运算中的以下公式是很具对称性的：；推广的情形是；对数运算和指数运算之间有类似的对称关系，在下面的式子中，?表示为?：?，?在命题变
16、换之中也存在对称关系。与原命题并存，有逆命题、否命题、逆否命题。原命题与逆命题互逆，否命题与逆否命题互逆；原命题与否命题互否，逆命题与逆否命题互否，可见，原命题与逆否命题等效，逆命题与否命题也等效。利用对称性解决数学问题，在数学当中则是到处可见。例如：在中?，求证?。通过观察我们可以发现，式子的左边是关于边的关系，而式子的右边是边角关系，式子两边的对称性遭到破坏。如果我们从等式的对称性出发，设法把右边的边角关系用边来表示，将会有什么结果呢？?例：求?的值。分析：由题目结构知原式是关于?，?的对称式，由此构想补作其对偶式使它们成为和谐的整体。解：设?从而有?，所以?，即?例如：求不定积分?，（?）此题方法不当，难以积分。如果用“对称”的观点来考虑。效果颇佳：?令：?，（?），?，（?），则：?，解关于、的方程组，即得：?，（?）对称美不仅是数学家们追求的目标，也是数学发现与创造的重要美学因素。笛卡尔建立的方程与几何图