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1、切线长定理,切线的判定方法：,（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； （2）到圆心的距离等与圆的半径的直线是圆的切线； （3 ）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.,证明一条直线是圆的切线的常见的两种方法：,当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直.” 当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径,简称“做垂直,证半径。”,切线的性质定理:,圆的切线垂直于过切点的半径,几何应用:,L是O的切线 ， OAL,切线的判定定理:,经过半径
2、的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线.,1.经过半径的外端；,2.与半径垂直,练习1：已知：AB是弦，AD是切线，判断DAC与圆周ABC之间的关系并证明.,弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角。,判别下列图形中的角是不是弦切角，并说明理由。,图1,图3,图2,弦切角性质:,弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。,练习5.AB是O的直径,AE平分BAC交O于点E,过点E作O的切线交AC的延长线于点D,试判断AED的 形状,并说明理由.,拓展应用,练习5.AB是O的直径,AE平分BAC交O于点E,过点E作O的切线交AC的延长线于点D,试判断AED的 形状,并说明理由.,
3、拓展应用,O,。,A,B,P,过圆外一点可以引圆的几条切线？,尺规作图： 过O外一点作O的切线,O,P,A,B,O,请跟我做,在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。,O,P,A,B,切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？,切线长概念,切线:不可以度量。切线长：可以度量。,比一比,B,O,A,B,P,1,2,请证明你所发现的结论。,PA = PB,OPA=OPB,证明：PA，PB与O相切，点A，B是切点 OAPA，OBPB 即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtAOPRtBOP(HL) PA = PB OPA=OPB,试用文字语言叙述你所
4、发现的结论,证一证,PA、PB分别切O于A、B,PA = PB,OPA=OPB,从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,几何语言:,反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法,切线长定理,A,P,O,B,若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.,OP垂直平分AB,证明：PA，PB是O的切线,点A，B是切点 PA = PB OPA=OPB PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 OP垂直平分AB,试一试,A,P,O,。,B,若延长PO交O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.,CA=CB,
5、证明：PA，PB是O的切线,点A，B是切点 PA = PB OPA=OPB PC=PC PCA PCB AC=BC,C,例1,已知，如图，PA、PB是O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系； （2）写出图中所有的全等三角形. （3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长.,A,O,C,D,P,B,E,解：,(1) OAPA , OBPB , OPAB,(2) OAP OBP , OCAOCB ACPBCP.,(3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (
6、cm),在 RtOAP 中，由勾股定理，得,PA 2 + OA 2 = OP 2,即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2,解得 x = 3 cm,所以，半径 OA 的长为 3 cm.,利用切线长定理进行计算,练一练,已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线， PC、PD是小圆的两条切线，A、B、C、D为切点。 求证：AC=BD,（,探究：PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于O于点D、E，交AB于C。,B,A,P,O,C,E,D,（1）写出图中所有的垂直关系,OAPA，OB PB，AB OP,（3）写出图中所有相等的线段,（2）写出图中与OAC相等的角,OAC=OBC
7、=APC=BPC,OA=OB=OD=OE, PA-=PB, AC=BC, AE=BE,已知：如图,PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求PEF的周长。,易证EQ=EA, FQ=FB, PA=PB, PE+EQ=PA=12cm,PF+FQ=PB=PA=12cm,周长为24cm,例题1,变式：如图所示PA、PB分别切 圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于 C、D，已知PA=7cm， (1)求PCD的周长 (2) 如果P=46,求COD的度数,C, O,P,B,D,A,E,例2、如图，四边形ABCD的边AB、BC、C
8、D、DA和圆O分别相切于点L、M、N、P， 求证： AD+BC=AB+CD,证明：由切线长定理得,AL=AP，LB=MB,NC=MC， DN=DP,AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP,即 AB+CD=AD+BC,补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等,例题2,。,P,B,A,O,（3）连结圆心和圆外一点,（2）连结两切点,（1）分别连结圆心和切点,反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。,想一想,例3 ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于 点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长.,解:,设AF=x(cm),
9、 BD=y(cm),CEz(cm), AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm)., O与ABC的三边都相切,AFAE,BDBF,CECD,例题3,A,B,C,E,D,F,O,如图，RtABC中，C90,BCa,ACb, ABc,O为RtABC的内切圆. 求：RtABC的内切圆的半径 r.,设AD= x , BE= y ,CE r, O与RtABC的三边都相切,ADAF,BEBF,CECD,解：设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB。,结论,变式,思考：如图，AB是O的直径， AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若
10、BC=9，AD=4，求OE的长.,例1、已知：P为O外一点，PA、PB为O的 切线，A、B为切点，BC是直径。 求证：ACOP,P,A,C,B,D,O,例题讲解,练习.如图，ABC中,C =90 ,它的 内切圆O分别与边AB、BC、CA相切 于点D、E、F，且BD=12，AD=8， 求O的半径r.,B,D,E,F,O,C,A,如图，ABC的内切圆的半径为r, ABC的周长为l,求ABC的面积S.,解：设ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，,连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，,则ODAB，OEBC，OFAC.,SABCSAOBSBOC SAOC, ABOD BCOE ACOF, lr,设
11、ABC的三边为a、b、c，面积为S， 则ABC的内切圆的半径 r,结论,三角形的内切圆的有关计算,思考,记忆:,1. RtABC中,C=90,a=3,b=4,则内切圆的半径是_.,1,A,B,C,E,D,F,O,如图，RtABC中，C90,BC3,AC4, O为RtABC的内切圆. （1）求RtABC的内切圆的半径 . （2）若移动点O的位置，使O保持与ABC的边AC、BC都相切，求O的半径r的取值范围。,设AD= x , BE= y ,CE r, O与RtABC的三边都相切,ADAF,BEBF,CECD,解：（1）设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，O
12、EBC，OFAB。,解得,r1,在RtABC中，BC3,AC4, AB5,由已知可得四边形ODCE为正方形，CDCEOD, RtABC的内切圆的半径为1。,（2）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。,A,B,O,D,C,OBBC3,半径r的取值范围为0r3,点评,几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。,基础题：,1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是_. 2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm, 则此三角形的周长是_. 3.O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,EF切O 于P点，交AB、BC于E、F，则BEF的周长是_.,E,F,H,G,正方形,22cm,2cm,切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角。,PA、PB分别切O于A、B,PA = PB ,OPA=OPB,OP垂直平分AB,切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。,