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1、1,第七章 参数估计,7.2 区间估计的基本概念,2,一、基本概念,前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是点估计值仅仅是未知参数的一个近似值, 它没有反映出这个近似值的误差范围， 使用起来把握不大. 区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷 .,3,譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极大似然估计为1000万尾.,若我们能给出一个区间，,实际上，N的真值可能大于1000万尾，,也可能小于1000万尾.,在此区间内我们合理地相信 N 的真值位于其中.,这样对鱼数的估计就有把握多了.,4,也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的
2、可靠程度相信它包含真参数值.,湖中鱼数的真值, ,这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，,习惯上,这里是一个很小的正数.,称为置信概率，置信度或置信水平.,置信水平记作1-,5,置信水平的大小是根据实际需要选定的.,例如，通常可取置信水平1-=0.95或0.9等.,根据一个实际样本，由给定的置信水平，,使,我们求出一个尽可能小的区间,置信区间.,称区间 为的置信水平为1-的,6,寻找置信区间的方法,一般是从确定误差限入手.,使得,根据置信水平1- ，可以找到一个正数，,我们选取未知参数的某个估计量 ，,只要知道 的概率分布，确定误差限并不难.,称为 与之间的误差限.,7,下面我们就来正式给出
3、置信区间的定义,由不等式,可以解出 ：,这个不等式就是我们所求的置信区间.,并通过例子说明求置信区间的方法.,8,置信区间定义：,满足,设是一个待估参数，给定0,若由样本X1,X2,Xn确定的两个统计量,分别称为置信下限和置信上限.,为1-的置信区间.,9,这里有两个要求:,可见，,对参数作区间估计，就是要设法找出两个 只依赖于样本的界限(构造统计量),10,2. 估计的精度要尽可能的高.,就是说，概率 要尽可能大.,即要求估计尽量可靠.,可靠度与精度是一对矛盾，,或能体现该要求的其它准则.,一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.,11,二、单侧置信区间,上述置信区间中置信限都是双侧的，但
4、对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限.,例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了.,这时，可将置信上限取为+，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间.,12,于是引入单侧置信区间和置信限的定义：,满足,设是 一个待估参数，给定0,若由样本X1,X2,Xn确定的统计量,则称区间,是的置信水平为1-的单侧置信区间.,称为单侧置信下限.,13,又若统计量,则称区间,是的置信水平为1-的单侧置信区间.,称为单侧置信上限.,满足,14,设灯泡寿命服从正态分布.求灯泡寿命均值的置信水平为0.95的单侧置信下限.,例1 从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试验，测得寿命X（单位：小时）如下：,1050，1100，1120，1250，1280,由于方差 未知，取样本函数,解： 的点估计取为样本均值,15,使,即,对给定的置信度1-,确定分位数,得均值的置信水平为1-的单侧置信区间为,16,将样本值代入得,1065小时,即的置信水平为1-的单侧置信下限为,的置信水平为0.95的单侧置信下限为,得均值的置信水平为1-的单侧置信区间为,