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1、18.02.2021,1,近世代数及其应用,18.02.2021,2,第2章 半群与群,本章研究最基本的代数系统：群 (集合中只有一种二元运算)。 群论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是 近世代数的基础。 变换群在几何学中起着重要的作用，有限群是伽罗华理论的基础。 群在编码理论、信息安全等方面有应用。,18.02.2021,3,第1节：半群与含幺半群,18.02.2021,4,18.02.2021,5,18.02.2021,6,18.02.2021,7,18.02.2021,8,18.02.2021,9,18.02.2021,10,18.02.2021,11,18.02.2021,12,18
2、.02.2021,13,18.02.2021,14,18.02.2021,15,18.02.2021,16,18.02.2021,17,18.02.2021,18,18.02.2021,19,18.02.2021,20,18.02.2021,21,18.02.2021,22,18.02.2021,23,18.02.2021,24,18.02.2021,25,18.02.2021,26,18.02.2021,27,18.02.2021,28,18.02.2021,29,18.02.2021,30,18.02.2021,31,18.02.2021,32,18.02.2021,33,第2节：群的定义
3、及性质,18.02.2021,34,18.02.2021,35,群的例,18.02.2021,36,18.02.2021,37,18.02.2021,38,18.02.2021,39,18.02.2021,40,18.02.2021,41,18.02.2021,42,18.02.2021,43,18.02.2021,44,群的定理1（等价定义）,18.02.2021,45,18.02.2021,46,18.02.2021,47,群的定理2 （等价定义）,18.02.2021,48,18.02.2021,49,归纳群的等价定义,18.02.2021,50,有限群（群的阶）,18.02.2021,
4、51,有限群证（等价定义）,18.02.2021,52,18.02.2021,53,18.02.2021,54,长方形图F，保持距离的双射f有哪些？用顶点变到顶点表示,18.02.2021,55,克莱因群,18.02.2021,56,群元素的阶,18.02.2021,57,群元素阶的定理,18.02.2021,58,18.02.2021,59,群元素阶的定理,18.02.2021,60,定理,有限群,中每个元素的阶均有限.,，在,中必有相等的. 设,则,，从而阶有限.,证明：设,18.02.2021,61,例,全体n次单位根,作成一个群，称作n次单位根群。,对于数的普通乘法,18.02.202
5、1,62,注：,无限群中元素的阶可能无限，也可能有限，,关于普通乘法作成无限交换群，,甚至可能都有限.,例,，则,其中每个元素的阶都有限.,18.02.2021,63,第3节 子群，群同态,利用群的某些子集来研究整个群的性质是群论研究的方法之一. 本节我们将考虑这样一些有特殊性质的子集合.,18.02.2021,64,定义1,.,例 设,和,都是,的子群.它们称为,的平凡子群.,非平凡子群称为真子群.,18.02.2021,65,子群的性质：,则,，由消去律，,，则,，,.,的逆元记为,由消去律,18.02.2021,66,判定子群的充要条件,定理2 设,的充分必要条件是：,，有,(2),，有
6、,(1),充分性：由(1)，,的运算也是,中结合律也成立,的单位元,由(2),中每一个元素,证明：必要性：由子群定义及定理1，显然成立(1)(2).,的运算.,都有逆元，所以,是一个群，,.,18.02.2021,67,判定子群的充要条件,(3),，有,证明：必要性：,，由(1)，,.,.,充分性：,由(3)，对,于是,，单位元,，因此,.,18.02.2021,68,例2 设,例3,例4,H= 数域F上的全体n阶满秩对角阵,H= 数域F上的全体行列式等于1的n阶方阵,，有,，有,18.02.2021,69,判定子群的充要条件(有限子集),，有,证明：必要性显然，下证充分性：,(*).,由条件
7、(*)，,是一个半群，又因为群,有消去律，从而,也有消去律，,.,注：这个定理，只要求H是有限集，并没有 要求G是有限集.,18.02.2021,70,群的同态,复习： 同态映射,单同态(映射),满同态(映射),同构(映射) 两个代数系统的同态,同构,性质,18.02.2021,71,同态应用到群,定理假定 与 是两个同态的代数系统,如果是群，那么 也是一个群,证明 的乘法适合结合律，而 与 同态，由前述定理知， 的乘法也适合结合律，所以 适合群定义的条件 ，我们证明 适合（左单位元，左逆元）设: 是满同态(映射),18.02.2021,72, 就是 的一个左单位元假定 是 的任意元,而 是
8、的一个原像: 那么,假定 是 的任意元， 是 的一个逆像: 那么 是 的左逆元.,18.02.2021,73,18.02.2021,74,18.02.2021,75,18.02.2021,76,18.02.2021,77,由定理的证明我们直接可以看出,定理假定 和 是两个群在 到 的一个同态满射之下， 的单位元 的象是 的单位元， 的元 的逆元 的像是 的像的逆元,18.02.2021,78,第4节 循环群,循环群是已经研究清楚的群之一，就是说，这种群的元素表达方式和运算规则，以及在同构意义下这种群的数量和它们子群的状况等，都完全研究清楚了.,18.02.2021,79,例子,例1、n次分圆域
9、 例2、整数加群Z 启示： 例1群的元都是G的某一个固定元a的乘方。例2 也 是,这个群的全体的元就都是的乘方这一点，假如把G的代 数运算不用而用 “ ” 来表示，就很容易看出我们知道 的逆元是假定m是任意正整数，那么 这样Z的不等于零的元都是的乘方但是Z的单位元，按照 定义,18.02.2021,80,存在性,定义 若群G中每个元都能表示成某个固定元a 的乘方，就称群G为循环群, 也称群G为由元a 生成的群，记为G=(a)，称a是G的一个生成元.,例1 整数加群Z是无限阶循环群,18.02.2021,81,例2 n次单位根乘群,是 n 阶循环群（n 1）,，但,，则,（n 1）,取,例3 模
10、 n 的剩余类加群,是n阶循环群.,18.02.2021,82,构造,定理 循环群,，则,；且,2.G是n阶循环群,；且,是G的生成元,1. G是无限阶循环群,3.G是n阶循环群，,推论 若循环群,，则,18.02.2021,83,18.02.2021,84,18.02.2021,85,18.02.2021,86,18.02.2021,87,18.02.2021,88,18.02.2021,89,18.02.2021,90,18.02.2021,91,18.02.2021,92,18.02.2021,93,数量,定理 循环群,，则,(2) 若G是n阶循环群，则G与模n的剩余类加群 同构.,(1
11、) 若G是无限阶循环群，则G与整数加群同构.,证明： （1）,（2）,18.02.2021,94,18.02.2021,95,，,，若,，若,，取H的最小正幂,，若,，则设,，,，于是,，故,，,，因此,.,证：,18.02.2021,96,定理,循环群,，则,定理 无限循环群,有无限多个子群.,是,不同的子群（若,，则,，于是,.）,证：,证：,的全部,18.02.2021,97,如何研究代数系统,I.分类: 同构的分成同一类,存在及数量。 II. 每一类的内部结构。 III.表示: 对于循环群的存在问题，数量问题，构造问题都已能解答，循环群已完全在我们的掌握之中 这一节的研讨是近世代数研讨
12、方法的一个缩影。在近世代数里，不管是在群论里还是在其它部分中，我们研究一种代数系统就是要解决这一种系统的存在问题，数量问题和构造问题假如我们对于这三个问题能得到如同我们对于循环群所得到的这样完美的解答，我们的目的就算达到了,18.02.2021,98,第5节 变换群与置换群,研究一种代数体系就是要解决这种代数体系的下面三个问题：存在问题；数量问题以及结构问题。 关于数量问题，指的是彼此不同构的代数体系的数量，因为同构的代数体系抽象地看可以认为是相同的代数体系。,本讲的凯莱定理将告诉我们，如果将所有变换群都研究清楚了，也就等于把所有群都研究清楚了，无论是否如此简单，但至少从理论上知道凯莱定理的重
13、要性。,18.02.2021,99,集合的变换和变换乘法,1 变换：设,是一个非空集合，若,是,就称,是,的一个变换.,2 变换集合：由,的全体变换做成的集合,，由,的全体一一变换做成,.,记为,的集合记为,18.02.2021,100,4 变换乘法是,的代数运算，也是,的代数运算.,5 恒等变换,：,，,3 变换乘法：,，规定,，称,为,的乘法.,18.02.2021,101,变换群的概念,的全部变换如下,问：（1）,关于变换乘法是否做成群？,关于变换乘法是否做成群？,（2）,18.02.2021,102,解：（1）非空、代数运算、结合律都满足，,事实上，,就没有逆元.因为如果,有逆元,.那
14、么必有,且,.但是,而,导致矛盾，故,没有逆元.,不能成为群.,有单位元,. 那么“逆元”问题能解决吗？,因此,18.02.2021,103,（2）非空、代数运算、结合律都满足，,，,的逆元是,的逆元是自身. 因此,例2 设,，并取定,，则易知,是,的一个非一一变换，,，从而,关于变换乘法做成群.,有单位元,成为群.,.,18.02.2021,104,定理1,设,为非空集合，,构成,的一个变换群.,关于变换的乘法,证明：乘法封闭性、结合律都满足，单位元,为恒等变换，每个一一映射都有个与之对应的,互逆的一一映射.,18.02.2021,105,18.02.2021,106,18.02.2021,
15、107,18.02.2021,108,定义,称集合,上的一一变换群,表示,用,为n 次对称群.,当,n次对称群,是一个阶为,的有限群.,时，,18.02.2021,109,18.02.2021,110,18.02.2021,111,18.02.2021,112,18.02.2021,113,推论,任何 n 阶有限群都同 n 次对称群,的一个子群同构.,以上定理及推论表明: 任何抽象群都可以找到某个具体的变换群与它同构.,18.02.2021,114,置换群,定义：称有限集合的一一变换为置换.,置换,可表示为,其中,是,的全排列.,18.02.2021,115,例,设,求A的全体置换.,三次对称
16、群为：,18.02.2021,116,注意：置换乘法没有交换律,是有限非交换群.,18.02.2021,117,置换群的概念,定义,次对称群,的任意一个子群，,次置换群，简称置换群.,（由部分置换关于变换乘法做成的群）,都叫做一个,定理 任何n阶有限群都同一个n次置换群同构.,因为任何n阶有限群都与一个具体的n次,置换群同构，所以常用n次置换群来举有限群,的例子.,18.02.2021,118,循环置换及循环置换分解,定义,中的一个将,变到,，,变到,变回到,而其余元素（如果还有其他元素）不发生,变化的置换，叫做 k循环(置换)，(k-轮换）记为,前例中的3元置换都是循环置换，且,18.02.
17、2021,119,注：并不是每个置换都是循环置换.,设,和,都是循环置换,如果,是不相连（不相交）的.,则称,与,不是循环置换，但,定义,18.02.2021,120,定理.,每个置换都可表成不相连循环置换之积.,证：,注：将置换写成不相连的循环置换之积是,表示置换的第二种方法.,18.02.2021,121,18.02.2021,122,18.02.2021,123,18.02.2021,124,18.02.2021,125,18.02.2021,126,例：四次对称群,18.02.2021,127,循环置换的性质,定理 两个不相连的循环置换是可以交换的.,定理 k循环置换的阶为k.,定理 不相连的循环置换乘积的阶为每个循环置换阶的最小公倍数.,定理,18.02.2021,128,定理每一个有限群都与一个置换群同构 这就是说，每一个有限群都可以在置换群里找到例子现在置换群又是一种比较容易计算的群，所以用置换群来举有限群的例是最合理的事,18.02.2021,129,18.02.2021,130,18.02.2021,131,18.02.2021,132,谢 谢,