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1、卡氏定理,卡氏定理(Castiglianos Theorem),是意大利工程师卡斯蒂利亚诺(A.Castigliano )于1873,故得其名.,卡氏第一定理,卡氏第二定理,设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移.,作用有外力:,F1 ,F2 , ,Fi , ,相应的位移为：,1 , 2 , , i , ,结构的变形能,卡氏定理的证明,只给 Fi 一个增量 Fi .,引起所有力的作用点沿力方向的位移增量为,在作用Fi 的过程中, Fi 完成的功为,原有的所有力完成的功为,结构应变能的增量为,如果把原来的力看作第一组力,而把 Fi 看作第二组力.,根椐互等定理,略去高阶微量,或者,当 Fi 趋于
2、零时,上式为,这就是卡氏第二定理（Castiglianos Second Theorem )（卡氏定理）（Castiglianos Theorem）,（1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体( Applying only to linearly elastic bodies）,说明 (Directions)：,（2）Fi 为广义力（generalized force） i为相应的位移（displacement corresponding to force Fi ),（3）卡氏第二定理的应用 ( Application of castiglianos second theorem ),（a） 轴向拉
3、,压（Axial tension and compression）,（b） 扭转（Torsion）,（c） 弯曲 （Bending）,（4） 平面桁架 (Plane truss),（5） 组合变形(Combined deformation),例 2.6,已知 EI, 求 C 端挠度及 A 截面的转角,解：,根据卡氏定理,有,AB段,BC段,例2.7,图示刚架EI为常量，B截面受m作用。求C截面转角qC及D点的水平位移dx。轴力及剪力不计。,C点施以附加力偶矩m2,支反力为,求AB,BC,CD各段的弯矩方程,并对m2求偏导,最后由卡氏定理求得C截面的转角qC。,实际上并无m2 ，所以令m2 =0得,通常在积分前即令m2 =0，可使积分简单,为求D点水平位移 dx , 在D点加水平力Pa ,求AB,BC,CD各段的弯矩方程,并对Pa求偏导,最后由卡氏定理求得D点水平位移dx。,例2.8,EI=常量,求B点水平和垂直位移,先求垂直位移dy,M=PRcosf,再在B点施加水平力Pa,M=Prcosf+PaR(1-sinf),例 求A点位移dA和B点位移dB,解,先求A点位移,由卡氏定理,因为,所以,求B点位移,加入虚载荷P,AB段,BC段,所以,事实上并无P,因此令P=0有,其实可在进行以下积分前令P=0,