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1、高中数学（上册）教案 第六章平面向量第六章 平面向量教材分析这一章主要介绍平面向量的基础知识，包括平面向量的概念、运算以及简单应用等本章教学时间约14课时，具体安排如下： 6.1向量 约1课时 6.2向量的加法与减法、数乘向量 约4课时 6.3平面向量的坐标运算 约4课时 6.4向量的数量积 约2课时 小结与复习 约4课时 (一)本章内容 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题
2、 向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法向量法和坐标法 本章内容包括向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算、向量的数量积等.本章重点是向量的概念，向量的几何表示和坐标表示，向量的线性运算，平面向量的数量积等本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用等
3、 (二)本章教学要求 1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念 2.掌握向量的加法与减法 3.掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算 5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件 6.掌握平面两点间的距离公式，中点坐标公式，并且能熟练运用.(三)本章教材分析本章一开始，从游艇航行的距离和方向两个要素出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量
4、、相等向量等基本概念 向量的加法与减法、实数与向量的积，实际是向量的线性运算知识教科书先讲了向量的加法、加法运算律，然后用相反向量及向量的加法定义向量的减法，这样把向量的加法与减法统一了起来教科书又通过向量的加法引入了实数与向量的积的定义，接着给出了实数与向量的积的运算律，最后介绍了向量共线的充要条件和平行向量基本定理，这样为后面介绍平面向量的坐标表示奠定了理论基础在“向量及其表示”中，主要介绍有向线段，向量的定义，向量的长度，向量的表示，相等向量，相反向量，自由向量，零向量 在“向量的线性运算”中，介绍向量加法的定义，向量加法的运算律；向量减法的定义，向量方程，向量长度的三角不等式；数乘向量
5、的定义，单位向量，数乘向量的运算律 在“向量的共线与共面”中，介绍平行向量，共线向量，共面向量，两个向量共线的充要条件，直线的向量方程，三个向量共面的充要条件 在“向量的内积”中，介绍两个向量的夹角，向量内积的定义，向量内积的几何意义，向量内积的运算律，向量内积的性质通过建立直角坐标系，给出了向量的另一种表示式-坐标表示式，这样就使得向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，然后给出了向量的加法、减法及实数与向量的积的坐标运算，这就为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁在向量坐标运算的基础上，还导出了向量的长度公式和线段的中点公式 对这一章中概念的处理，是根据概念在教科书中的地位、作用及特点，
6、对不同的概念采用不同的处理方式一些概念是通过举例反映概念实质的具体的对象，并充分发挥几何图形的直观的特点，使学生在感性认识的基础上建立概念，并理解概念的实质，像向量的概念等；一些概念则不仅给出严格的定义，还要分析满足定义的充要条件，要求学生理解、记忆，并通过适当的练习，让学生会用，像向量数量积的概念等 这一章中的一些例题，不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法解题后，有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法，有的还让学生进一步考虑相关的问题 关于向量运算，是借助于几何直观，并通过与数的对比引入，这样便于学生接受例如，关于向量的减法，在向量代数中，常有两种定义方法，第一
7、种是将向量的减法定义为向量加法的逆运算，也就是，如果a+x=b，则 x叫做向量b与a的差这样，作b-a时，可先在平面内取一点O，再作= a,=b,则就是b-a第二种方法是在相反向量的基础上，通过向量的加法定义向量的减法，即已知a、b，定义b-a=b+(-a)在这种定义下，作b-a时，可先在平面内任取一点O，作= -a,=b,则由向量加法的平行四边形法则知,= b+(-a),由于b+(-a)= b-a，即就是b-a实验表明，对中学生来讲，用这一种定义方法，学生不易理解向量减法的定义，但很容易作b-a而用第二种定义方法，学生根容易接受b-a=b+(-a)，但作b-a较繁为便于学生接受，在定义向量的
8、减法时，先给出相反的向量(对比初中代数中的相反数)，再把b-a定义为b+(-a)，并告诉学生，作b-a时，只要按教科书图作出即可 (四)教学建议1.注意培养学生的思维能力 注意对学生思维能力的培养，对知识的处理，都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式，从而培养学生的思维能力 2.注意数学思想方法的渗透 在这一章中，从引言开始，就注意结合具体内容渗透数学思想方法例如，从游艇在湖面上航行时的位移，渗透数学建模的思想通过介绍相等向量及有关作图的训练，渗透平移变换的思想 由于向量具有两个明显特点“形”的特点和“数”的特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁，向量的
9、坐标实际是把点与数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题，因此这部分知识还渗透了数形结合的解析几何思想 3.突出知识的应用 (1)加强向量在数学知识中的应用 ，注意突出向量的工具性，很多公式都用向量来推导，如平面两点间距离公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等 (2)加强向量在物理中的应用 为培养学生用向量知识解决有关物理问题的能力，首先要把它转化成数学问题，即用数学知识建立物理量之间的关系，也就是抽象成数学模型，然后再用建立起的数学模型解释相关物理现象 (3)注意联系实际 .课 题 6.1向量的概念教学目的：1.理解向量的
10、概念，掌握向量的几何表示；2.了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或出与某一已知向量相等的向量；3.了解平行向量的概念.教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示教学难点：向量概念的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：一、复习引入： 在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，
11、在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.这一节课，我们将学习向量的有关概念.二、讲解新课：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量注意：1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小 2从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质2.向量的表示方法：用有向线段表示； 用字母、等表示；用有向线段的起点与终点字母：；向量的大小长度称为向量的模，记作|. 3.零向量、单位向量概念：长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的.注意与0的区别.长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：
12、零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.4.平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合、才是平行向量的完整定义；（2）向量、平行，记作.5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量与相等，记作；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线
13、段的位置关系.探究：1.对向量概念的理解要深刻理解向量的概念，就要深刻理解有向线段这一概念.具有方向的线段就叫做有向线段.通常有向线段的终点要画箭头表示它的方向，以A为起点，以B为终点的有向线段记为，需要学生注意的是：的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度.既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有些向量既有大小、方向、作用点(起点)，比如力；有些向量只有大小、方向，比如位移、速度，我们现在所学的向量一般指后者.2.向量不能比较大小我们知道，长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，“对于向量，或”这种说法是错
14、误的.3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.初学向量的同学很可能认为一个实数与一个向量之间可进行加法或者减法，这是错误的.实数与向量之间不能相加减，但可相乘，相乘的意义就是几个相等向量相加.4向量与有向线段的区别：（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段三、讲解范例：例1 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.(答案: 、正确,其它不正确)向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；单位向量都相等；任一向量与它的相反
15、向量不相等；四边形ABCD是平行四边形的充要条件是 模为0是一个向量方向不确定的充要条件；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.例2 如图,设D,E,F分别是正ABC中AB、BC和CA边上的中点,试分别写出图中与向量和(1)相等的向量;(2)共线而不相等的向量.四、课堂练习：1平行向量是否一定方向相同？（不一定）2不相等的向量是否一定不平行？（不一定）3与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）4与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）5若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）6两个非零向量相等的充要条件是什么？（长度相等且方向相同）7共线向量一定在同一直线上吗
16、？（不一定）8如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、相等的向量.五、小结 ：向量及向量的有关概念、表示方法，还知道有两个特殊向量，最后学了向量间的两种关系，即平行向量（共线向量）和相等向量 六、课后作业：(P138练习6-1)1.把平面上所有单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ D ）A.一条线段 B.一段圆弧 C.圆上一群孤立点 D.一个单位圆2.下列命题正确的是（ C ）A.与共线，与共线，则与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量与不共线，则与都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行七、板书设计（略
17、）课 题：6.2向量的加法与减法 数乘向量-向量的加法教学目的：掌握向量加法的定义会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算 教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.教学难点：向量的加法和减法的定义的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：向量的概念;向量的表示方法;零向量、单位向量概念;平行向量定义;相等向量定义二、讲解新课： 1向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形
18、法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）课本中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的如图，已知向量、在平面内任取一点，作，则向量叫做与的和，记作，即 特殊情况：对于零向量与任一向量，有 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|,则+的方向与相同，且|+|=|-|;若|0时与方向相同；时 两边向量的方向都与同向；当0且1时在平面内任取一点O，作,则+,+,由作法知,有OAB=OA1B1,|=|, OABOA1B1 AOB= A1OB1 因此,
19、O，B，B1在同一直线上,|=|,与方向也相同,(+)=+当0时与方向相同；0时与方向相反；=0时=运算定律 结合律：()=() 分配律：(+)=+ (+)=+二、讲解新课：向量共线的充要条件若有向量()、，存在实数，使=，则与为共线向量若与共线()且|：|=,则当与同向时,=;当与反向时,=-.从而得向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个实数，使=.即三、讲解范例：例1如图所示,已知向量a,b,c,d试用a分别表示b,c,d.解：由图可知,向量a,b,c,d是一组平行向量,所以,b=3a,c=-2a,d=-2.5a.例2如图,MN是ABC的中位线,求证：MNBC,且MNB
20、C.证明：M、N分别是AB、AC边上的中点，所以=，=，=-=（-）=.因此，且BC. 向量是数学中重要概念之一，是解决数学问题的得力工具，它简洁明快，许多几何里的命题，如果用向量知识来解决就显得格外简练.例3设, 是两个不共线向量，已知=2+k, =+3, =2-, 若三点A, B, D共线，求k的值解：=-=(2-)-(+3)=-4A, B, D共线 ,共线 存在使=即2+k=(-4) k=-8四、课堂练习：1.(错例分析:)判断向量e与e是否共线?对此题，有同学解答如下：解：e，e，与共线.分析：乍看上述解答，真是简单明快.然而，仔细研究题目已知，却发现其解答存有问题，这是因为，原题已知
21、中对向量e并无任何限制，那么就应允许e0，而当e0时，显然0，0，此时，不符合定理中的条件，且使成立的值也不惟一(如，等均可使成立)，故不能应用定理来判断它们是否共线.可见，对e0的情况应另法判断才妥.综上分析，此题应解答如下：解：(1)当e0时，则e0由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，所以，此时与共线.(2)当e0时，则e0，e0(这时满足定理中的0,及有且只有一个实数(),使得=成立)与共线. 综合(1)、(2)可知，与共线.2.凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F，求证(+).解法一：构造三角形，使EF作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决.过点C
22、在平面内作，则四边形ABGC是平行四边形，故F为AG中点.EF是ADG的中位线，EF =, .而，（）.解法二：创造相同起点，以建立向量间关系如图，连EB，EC，则有，又E是AD之中点，有0.即有；以与为邻边作平行四边形EBGC，则由F是BC之中点，可得F也是EG之中点.（）（）五、小结:通过本节学习，要求大家理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用. 六、课后作业：1.如图，在ABC中，=, = ，AD为边BC的中线，G为ABC的重心，求向量解法一：=, = 则=+=+而= =+解法二：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F, AEFABC，=,=,=, =+=+2.已知两向量、不
23、共线,若与共线,求实数.七、板书设计（略）八、课后记：课 题：6.3平面向量的坐标运算-平面向量的基本定理教学目的：1了解平面向量基本定理；2掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法；3能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达教学重点：平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示教学难点：平面向量基本定理的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是:有且只有一个实数,使=.二、讲解新课：(共面向量定理)平面向量的基本定理：如果，是
24、同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数,使=+探究：(1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一.,是被，唯一确定的数量三、讲解范例：例1 已知向量, 求作向量-2.5+3.作法：（1）取点O，作=-2.5,=3. （2）作OACB，即为所求-25+3例2 如图的对角线交于M,且=,=,用,表示,和. 解：在中 ，=+=+ ，=-=-=-=-(+)=-，=(-)=-,=+,=-+.例3如图，不共线,=t(tR),用,表示. 解
25、：=t =+=+ t =+ t(-)=+ t-t=(1-t)+ t.四、课堂练习：1.已知矢量,其中、不共线,则与的关系是( B )A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定2.已知向量、不共线,实数x、y满足(3x-4y)+(2x-3y)=6+3,则x-y的值等于( A )A.3 B.-3 C. 0 D.23.若、不共线,且(,R),则= 0 ,= 0 4.已知、不共线,且c=1a+2b(1,2R),若c与b共线,则1= 0 5.已知10,20,e1、e2是一组基底,且a=1e1+2e2,则a与e1_,a与e2_(填共线或不共线)五、小结： 平面向量基本定理的实质：同一平面内任一向量都可以
26、表示为两个不共线向量的线性组合六、课后作业：1.下面向量、共线的有（ A ）(1)a=2e1,b=-2e2 (2)a=e1-e2,b=-2e1+2e2(3)a=4e1-e2,b=e1-e2 (4)a=e1+e2,b=2e1-2e2(e1、e2不共线)A(2)(3) B(2)(3)(4) C(1)(3)(4) D(1)(2)(3)(4)2.设一直线上三点A、B、P满足=(1),O是空间一点,则用 、表示式为（ C ）A =+ B =+(1-) C = D3.若a、b是不共线的两向量,且=1a+b, =a+2b(1、2R),则A、B、C三点共线的充要条件为（ D ）A1=2=-1 B1=2=1 C
27、12+1=0 D12-1=04.设、不共线,点P在O、A、B所在的平面内,且=(1-t) +t(tR),求证A、B、P三点共线5.当不为零的两个向量a、b不平行时,求使pa+qb=0成立的充要条件(p=q=0)6.已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1、e2不共线,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数、,使d=a+b与c共线? (存在,=-2能使d与c共线)7.如图，平行四边形ABCD中，H、M是AD、DC之中点，F使BFBC，以、为基底分解向量与分析：以，为基底分解与，实为用与表示向量与解：由H、M、F所在位置有：=+=+=+=，七、板书设计（略）八、课后记：课 题
28、：6.3平面向量的坐标运算平面向量的坐标表示及运算教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线 教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：平面向量的基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数,使=+ (1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解
29、形式唯一.,是被，唯一确定的数量二、讲解新课：1平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得我们把叫做向量的（直角）坐标，记作其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示与相等的向量的坐标也为特别地，如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示2平面向量的坐标运算（1） 若，则，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差设基底为、，则即，同理可得（2） 若，则一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标=-=( x2, y2) - (x1,y1)= (x2- x1, y2- y1)（3）若和实数，则.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标设基底为、，则，即三、讲解范例：例1已知平面上三点的坐标分别为A(-2, 1), B(-1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点解：当平行四边形为ABCD时，由得D1=(2, 2)当平