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1、“将军饮马”模型,平面几何中涉及最值问题的相关定理或公理有：线段公理：两点之间，线段最短. 并由此得到三角形三边关系； 垂线段的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短. 在一些“线段的最值”的问题中，通过翻折运动，把一些线段进行转化即可应用 、 的基本图形，并求得最值，这类问题一般被称之为“将军饮马”问题。,将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）,所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军问题，然后利用轴
2、对称解题。,将军饮马最常见的三大模型,1、如图，在直线异侧两个点A和B，在直线上求一点P。使得PA+PB最短（题眼）。,一般做法：作点A（B）关于直线的对称点， 连接AB，AB与直线交点即为所求点。AB即为最短距离。,理由：A为A的对称点，所以无论P在直线任何位置都能得到AP=AP。所以PA+PB=PA+PB。这样问题就化成了求A到B的最短距离，直接相连就可以了。,2、如图，在OAB内有一点P，在OA和OB各找一个点M、N，使得PMN周长最短（题眼）。,一般做法：作点P关于OA和 OB的对称点P1、P2。连接P1、P2。 则P1P2与OA、OB的交点即为所求点。P1P2即为最短周长。,理由：对
3、称过后，PM=P1M，PN=P2N。所以PM+PN+MN=P1M+P2N+MN。所以问题就化成了求P1到P2的最短距离，直接相连就可以了。,3、如图，在OAB内有两点P、Q，在OA和OB各找一个点M、N，使得四边形PMNQ周长最短（题眼）。,一般做法：题目中PQ距离固定。所以只是求PM+MN+QN的最短距离。最终PQ+PQ，即为所求最短周长。M、N即为所求的点。,理由：作完对称后，由于PM=PM，QN=QN，所以PM+MN+QN=PM+MN+QN。所以就化成了求P到Q的最短距离，所以相连即可。,常见问题,1.怎么对称，作谁的对称？ 首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求
4、点，即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连线的点。怎么对称。简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。或者说只有定点才可以去作对称的。 那么作谁的对称点？首先要明确关于对称的对象肯定是一条线，而不是一个点。那么是哪一条线？一般而言都是动点所在直线。,2.对称完以后和谁连接？ 接下来对称完以后和谁连接？一句话：和另外一个顶点相连。绝对不能和一个动点相连。明确一个概念：定点的对称点也是一个定点。例如模型二和模型三。 3.所求点怎么确定？ 最后所求点怎么确定？首先一定要明白，所求点最后反应在图上一定是个交点。实际就是我们所画直线和已知直线的交点。,4.对称的点可以
5、随便选吗？ 理论上来说，只要是定点，可以选择来对称。但事实上，为了方便解题，一般对称点是有所选择的。选择原则如下：对称点方便确定、方便计算长度。 5.将军饮马一定是求最短距离吗？ 肯定不是。或者说求最短距离是将军饮马中的最简单一类题目。根据将军饮马的基本模型可以拓展出很多题型。根本原因是因为在作轴对称过程中不但是作了点的对称，还作了边长和角度的对称！或者说边长和角度的对称才是最关键。,例：如图，M为矩形ABCD对角线BD上一动点，N为边BC上的动点，已知AB=6,BC=8,求MN+MC的最值。,解析：要求MN+MC的最小值，那么这三个点，谁是定点呢，如何构造对称点？,由于点C与点C是关于BD轴对称，所以MC=MC,也就是说要求MN+MC的最小值，只要求MC+MN的最小值，假设N点为BC上定点，那么可以根据两点之间线段最短，可知，当C,M,N三点在同一条直线上时，其值最小，现在点N为BC上的动点，又如何确定其CM+MN的最小值呢，不错根据垂线段最短，可知CNBC时，其值最小。,