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1、3.4基本不等式,2002年国际数学家大会会标,创设情境、体会感知：,三国时期吴国的数学家赵爽,思考：这会标中含有怎样的几何图形？,思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？,探究1,一 、探究,问2：RtABF,RtBCG,RtCDH,RtADE是全等三角形，它们的面积总和是S=,问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b, 则AB=则正方形的面积为S=。,问3：观察图形S与S有什么样的大小关系？,易得，s s,即,A,D,C,B,H,G,F,E,问4：那么它们有相等的情况吗？ 何时相等？,变化的弦图,结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立,探究2
2、,问5：当a,b为任意实数时， 还成立吗？,形,数,此不等式称为重要不等式,2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数,2.代数证明:,3.几何意义：半弦长小于等于半径,（当且仅当a=b时，等号成立）,二、新课讲解,1.思考:如果用 去替换 中的 , 能得到什么结论? 必须要满足什么条件?,3.几何证明:,从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项,基本不等式：,当且仅当a =b时，等号成立.,当且仅当a=b时，等号成立.,重要不等式：,注意： （1）不同点：两个不等式的适用范围不同。,（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。,构造条件,三、应用,例1、若 ,求 的最小值.,变3
3、:若 ,求 的最小值.,变1:若 求 的最小值,变2:若 ,求 的最小值.,发现运算结构，应用不等式,问:在结论成立的基础上,条件“a0,b0”可以变化吗？,三、应用,例2、已知 ,求函数 的最大值.,变式:已知 ,求函数 的最大值.,发现运算结构，应用不等式,应用要点： 一正 二定 三相等,例3：（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？,解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，,则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.,等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.,因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的
4、篱笆是40m.,结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两值相等时取最值。,（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？,解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，,则 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18,矩形菜园的面积为xym2,=18/2=9,得 xy 81,当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立,因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2,结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两值相等时取最值。,1、本节课主要内容？,你会了吗？,四、小结,2、两个结论:（
5、1）两个正数积为定值，和有最小值。 （2）两个正数和为定值，积有最大值。,1. 两个不等式 （1） （2） 当且仅当a=b时，等号成立 注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。 2.不等式的简单应用：主要在于求最值 把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三相等”,课堂小结,x0, 当x取何值时， 的值最小？最小值是多少？ 已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时,两条直角边的和最小，最小值是多少？ 用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应怎样折？,作业,(课本100页),高考欣赏,B,证明:要证,只要证,( ),要证，只要证,( ),要证，只要证（ ),证明:当 时, .,探究,o,a,b,A,B,P,Q,如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP, 则半弦PQ=_,半径AO=_,几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长,探究4,动态演示,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,