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1、1,无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数（泰勒级数）,傅里叶级数,第十一章,2,第十一章,第一节,数项级数的基本概念及性质,二、收敛级数的基本性质,一、数项级数的基本概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3,一、常数项级数的概念,引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积 A .,设 a0 表示,即,内接正三角形面积,ak 表示边数,增加时增加的面积,则圆内接正,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引例2.,引例3.,5,定义：,给定一个数列,将各项依
2、,即,称上式为无穷级数，,其中第 n 项,叫做级数的一般项,级数的前 n 项和,称为级数的部分和.,次相加, 简记为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6,当级数收敛时, 称差值,为级数的余项.,则称无穷级数发散。,显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则称无穷级数收敛，,并称 S 为级数的和，,记作：,7,级数与数列有着密切的关系：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8,无穷级数收敛性举例：Koch雪花.,做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的 1/3 的小正三角 形。如此类推在每条凸边上都做类似的操 作，我们就得到了面积有限而周长无限的 图形“Koch雪
3、花”。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,9,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,播放,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10,周长为:,面积为,第 次分叉：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11,于是有,结论：雪花的周长是无界的，而面积有界,雪花的面积有限。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,雪花的周长无限。,12,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,?,13,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,“拆项相消”,14,例2. 判别下列级数的敛散性:,解:,所以级数 (1) 发散 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用 “拆项相消” 求和,15,故原级数收敛 ,
4、 其和为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解1:,16,故原级数收敛 , 其和为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解2:,17,解:,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,发散,18,发散,发散,综上所述,机动 目录 上页 下页 返回 结束,右图给出了几何级数的一个几何解释:,由三角形的相似,19,机动 目录 上页 下页 返回 结束,20,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明:,被去掉所有区间的总长度为,为几何级数,事实上 : 所有被去掉所有区间的端点都是 Cantor 集中的点.,21,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明:,被去掉所有正方形的总面积为,22,证明1：,级
5、数发散。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,23,证明2：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,24,8项,4项,2项,2项,项,证明3：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,25,证明4：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,所以,故调和级数发散,26,机动 目录 上页 下页 返回 结束,27,二、基本性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,28,说明:,（1） 若两级数中一个收敛一个发散 , 则,必发散 .,（2）若二级数都发散 ,不一定发散.,例如,(用反证法可证),机动 目录 上页 下页 返回 结束,29,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,30,机动 目录 上页 下页 返
6、回 结束,31,证明:,类似地，可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,32,说明：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,33,证明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对其任意加括号，例如,34,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明：,收敛,发散,性质4的逆命题不成立，即发散级数加括弧 后可能变成收敛级数。,35,例7. 判断级数的敛散性:,解: 考虑加括号后的级数,发散 ,从而原级数发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,36,三、收敛的必要条件,证明,性质5（级数收敛的必要条件）:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,37,注意,
7、1. 如果级数的一般项不趋于零，则级数发散;,发散,2. 此结论的逆不成立。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即：一般项趋于零，级数未必收敛。,38,四、柯西收敛准则*,定理：柯西(Cauchy) 收敛准则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,39,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,40,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明：,由柯西收敛准则,41,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则由柯西收敛准则，知,42,证明：,例10.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,43,五、内容小结,一、常数项级数的基本概念和性质。,二、判断级数是否收敛的方法：,机动 目录 上页 下页 返回
8、结束,44,作业,习题10-1(P340) 1；2(3)(5)(6)(9)； 3(1); 5;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,45,解,已知级数为几何级数，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题:,46,解:,几何级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,47,3、判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:,解: (1) 令,则,故,从而,这说明级数(1) 发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,48,因,进行拆项相消,这说明原级数收敛 ,其和为,(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,49,这说明原级数收敛, 其和为 3 .,(3),机动 目录 上页 下页 返回 结束,50,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,机动 目录 上页 下页 返回 结束,51,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,机动 目录 上页 下页 返回 结束,52,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,机动 目录 上页 下页 返回 结束,53,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,机动 目录 上页 下页 返回 结束,54,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,机动 目录 上页 下页 返回 结束,55,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,机动 目录 上页 下页 返回 结束,