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1、构造拉格朗日插值多项式,其形式具有对称性，即便于记忆，,必须全部重新计算。,插商与牛顿(Newton)插值多项式,由于公式中的,都依赖于全部插值节点在增加或减少节点时，,又便于应用与编制程序。,这种形式的插值多项式称为n次牛顿插值多项式。,，即,其中系数,可由插值条件,记为,为克服这个缺点，把插值多项式构造成如下形式,确定。,定义1 设函数f(x)在点,为f(x)在点,处的一阶差商，记为,，即,称一阶差商的差商,（,为f(x)在,处的二阶差商，记为,上的值依次为,称,互异）,为此我们引入差商概念：,一般地，称 m-1 阶差商的差商,为 f(x) 在点,特别地，规定零阶差商,处的m阶差商。,即,
2、为便于应用，通常采用差商表，例如,性质1 k阶差商,是由函数值,线性组合而成的，即,性质2 差商具有对称性，即在k阶差商,中任意调换2个节点,和,差商有如下性质：,的顺序，其值不变。,性质3 k阶差商,和 k 阶导数,之间有如下重要关系：,有了差商的概念和性质后，我们就可以用差商 来表示牛顿差值多项式中的系数。,由插值条件,，可得,由插值条件,，可得,由插值条件,，可得,一般地，可以证明有,于是，满足插值条件,的n次牛顿插值多项式为,例3 已知函数表,试用牛顿线性插值与抛物线插值求,的近似值，并估计截断误差。,解：先构造差商表，取,由差商表，牛顿插值多项式的系数依次为,牛顿线性插值多项式为,牛
3、顿抛物线插值多项式为,所求近似值为,所求近似值为,可知近似值,与,的截断误差分别为,，,由插值余项公式,在实际计算中，特别是在函数f(x)的高阶导数比较复杂或f(x)的表达式没有给出时，由性质3，我们可以用差商表示的余项公式,实际计算中，当n+1阶差商变化不激烈时，可用,近似代替,取,来估计截断误差。,例3中，若用此方法估计截断误差，则有,与实际误差,相当接近。,练习：给定数据如下：,x 1 1.5 0 2 f(x) 1.25 2.50 1.00 5.50,用牛顿二次、三次插值多项式近似计算f(1.46)的值，并估计牛顿二次插值多项式近似计算的截断误差，说明牛顿二次多项式近似计算结果的有效数字。,