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1、一、独立增量过程,二、泊松过程,三、维纳过程,四、高斯过程（正态过程）,第十章 随机过程及统计描述,一、独立增量过程 1定义 设X(t),t0为一随机过程,对于0st,称随机变量X(t)-X(s)为随机过程在区间s,t上的增量. 若对于任意的正整数n及任意的0t0t1t2tn,n个增量 X(t1)-X(t0)，X(t2)-X(t1)，X(tn)-X(tn-1) 相互独立，称X(t),t0为独立增量过程。,若对于任意的实数s, t 和0s+ht+h, X(t+h)X(s+h)与X(t)X(s)具有相同的分布,则称增量具有平稳性,并称相应的独立增量过程为齐次的或时齐的。 即：增量X(t)X(s)的
2、分布函数实际上只依赖于时间差t-s，而不依赖于t与s本身,即与观察的起始时刻无关。 2独立增量过程的性质 (1)独立增量过程X(t),t0在X(0)=0的条件下,X(t)的有限维分布函数可以由增量X(t)X(s)， 0st 的分布确定.,证：令Yk= X(tk )- X(tk-1 ), k=1,2, ,n. t0=0. 由条件，增量的分布已知，且具有独立增量，则,(2)独立增量过程X(t),t0在X(0)=0的条件下,X(t)的协 方差函数为,Y1,Y2, ,Yn的联合分布即可确定， 而 X(t1)=Y1， X(t2) =Y1+ Y2， X(tn) =Y1+ Y2 + + Yn，即X(tn)
3、是Y1 ，Yn的线性函数， 推广结果： Y1,Y2, ,Yn的联合分布确定了X(t)的有限维分布函数。,证明: 记Y(t )=X(t)-X(t),当X(t)具有独立增量时， Y(t )也具有独立增量；且Y(0)=0,EY(t )=0, DY(t)= EY2(t )=DX(t) .所以，当0st 时，有,于是可知对于任意的s,t0,协方差函数可表示为：,同理，当0ts时，有,二、泊松过程 泊松过程是研究随机质点流的计数性质的基本数学模型之一，是一类重要的随机过程。在通信工程、服务行业、生物学、物理学、公用事业等领域的许多问题都可以用泊松过程来描述。如：商店接待的顾客流，数字通信中已编码信号的误码
4、流等,随机质点流：质点（或事件）陆续地随机到达（或随机发生），则形成一个随机质点流 例如：商店接待的顾客流、 等车的乘客流、 数字通信中已编码信号的误码流、 经过中国上空的流星流、 放射性物质所放射出的粒子流、 要求在机场降落的飞机流，等等。 随机质点流的强度：通常称单位时间内平均出现的质点的个数为随机质点流的强度，记为 ,1.计数过程定义 定义1. 称随机过程N(t),t0为计数过程,若N(t)表示0,t时段内“事件A”发生的次数,且N(t)满足下列条件 (1) N(t)0； (2) N(t)取整数； (3) 若0st,则 N(s)N(t)； (4) 当st 时, N(t)-N(s)等于在间
5、隔(s,t)上“事件A”发生的次数。 例如：若用N1(t)表示某电话交换台在0,t内接到的电话呼唤次数；,若用N2(t)表示0,t这段时间内到达某商场的顾客数； 若用N3(t)表示时间0,t内某放射性物质放射出的粒子数； 若用N4(t)表示在时间0,t内某地段出现的交通事故次数等,这些Ni(t)均为计数过程。,为了建模方便，我们把“事件A”发生一次说成质点出现一个，于是计数过程N(t)看作在时间轴上区间0,t内质点出现的个数。,随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一,时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程.,计数过程的一个典型的样本函数如图,t,N(t),计数过程N(t)是独立增量
6、过程,如果计数过程在不相重叠的时间间隔内，事件A发生的次数是相互独立的。,计数过程N(t)是平稳增量过程,若计数过程N(t)在(t,t+s内（S0），事件A发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时间差s有关，而与t无关。,例：设为N(t)为0,t)时段内某电话交换台收到的呼叫次数，t=0， N(t)的状态空间为0,1,2,， 具有如下性质： (1) N(0)=0，即初始时刻未收到任何呼叫； (2) 在t,s)这段时间内收到的呼叫次数只与时间间隔s-t有关，而与时间起点t无关； (3) 在任意多个不相重叠的时间间隔内收到的呼叫次数相互独立；,定义2: 称计数过程N(t),t0为具有参数0的泊松过程
7、，若它满足下列条件 (1) N(0)=0；零初值性 (2) N(t)是(平稳)独立增量过程； (3) 对于任意的s,t0, N(t+s)-N(s)服从参数为t的泊松分布,从条件(3)：泊松过程的均值函数为,表示单位时间内质点出现的平均个数,故称为此过程的强度。,令N(s,t)=N(t)N(s),0s0的泊松过程,若它满足下列条件 (1) N(0)=0；零初值性 (2) N(t)是独立增量过程； (3) N(t)满足:,定理: 定义2与定义3是等价的。,例：设为N(t)为0,t)时段内某电话交换台收到的呼叫次数，t=0， N(t)的状态空间为0,1,2,， 具有如下性质： (4)在足够小的时间间
8、隔t内,实际上假设了在足够小的时间间隔内出现一个质点的概率与时间间隔成正比，而出现质点数不少于2的概率是关于时间间隔的高阶无穷小这一般是与实际情况相吻合的。,2泊松过程数字特征,3泊松过程的一些定理,设N(t),t0为泊松过程，N(t)表示到t时刻时质点出现的个数,W1，W2，.分别表示第一个，第二个，质点出现的时间,Tn(n1)表示从第n1个质点出现到第n个质点出现的时间间隔.,通常称 Wn为第n个质点出现的等待时间,Tn为第n个时间间隔,它们都是随机变量。,定理1. 设N(t)，t0是具有参数的泊松过程,Tn,n1,2,.是对应的时间间隔序列,则随机变量序列Tn,n=1,2,.为独立的且均
9、服从参数为的指数分布。,证明：(1)先确定T1的分布. 为此首先注意到事件T1t发生当且仅当在时间间隔0,t内没有质点出现,因而,所以, T1具有参数为的指数分布。,(2)为求T2的分布,先求T1的条件下T2的条件分布,由独立增量性有,所以,可得T2也是一个具有参数为的指数分布的随机变量且T2独立于T1,重复同样的推导可得定理。 下面求等待时间Wn的分布，注意到第n个质点出现在时间t或之前的条件是当且仅当到时间t已出现的质点数至少是n， 即,上式对t求导，得Wn的概率密度是,定理2.设Wn , n=1,2,是与泊松过程N(t),t0对应的一等待时间序列，则Wn服从参数为n与的分布，其概率密度为
10、,定理3. 如果相继出现的两个质点的时间间隔是相互独立，且服从同一指数分布，则质点流构成了强度为的泊松过程。 该定理告诉我们确定一个过程是不是泊松过程只要用统计方法检验点间间距是否独立且服从同一指数分布。,注：泊松过程或泊松流是研究排队理论的工具，在技术领域内它又是构造一类重要噪声(散粒噪声)的基础。,例.设X(t)是强度为的泊松过程，定义Y(t)=X(t+L)-X(t),其中L0为常数，求Y(t),RY(s,t). 解： Y(t)=EY(t)=EX(t+L)-X(t)=(t+L)-t=L； RY(s,t)=CY(s,t)+Y(s)Y(t), 对任意0st，有,引言 维纳过程是布朗运动的数学模
11、型. 英国植物学家布朗在显微镜下, 观察漂浮在平静的液面上的微小粒子, 发现它们不断地进行着杂乱无章的运动, 这种现象后来称为布朗运动. 以W(t)表示运动中一微粒从时刻t=0到时刻t0的位移的横坐标(同样也可以讨论纵坐标), 且设W(0)=0, 根据爱因斯坦1905年提出的理论, 微粒的这种运动是由于受到大量随机的相互独立的分子的碰撞的结果. 于是, 粒子在时段(s,t上的位移可以看作是许多微小位移的代数和. 则W(t)-W(s)服从正态分布.,三、维纳过程 又称布朗运动,1维纳过程的定义 给定过程W(t),t0，如果它满足 (1)具有平稳的独立增量； (2)对任意的ts0，W(t)-W(s
12、)服从正态分布N(0,2(t-s)； (3)W(0)=0.,三、维纳过程 又称布朗运动,则称此过程为维纳过程，下图展示了它的一条样本曲线。,维纳过程不只是布朗运动的数学模型, 电子元件在恒温下的热噪声也可归结为维纳过程 。,2维纳过程的性质 (1). 维纳过程 W(t)，t0为正态过程(每一个有限维分布均为正态分布)。 证明: 对于任意正整数n和任意时刻t1,t2,tn(0t1t2tn)以及任意实数u1，u2，un，记,它是独立正态随机变量之和，所以它是正态随机变量，由正态分布的性质知(W(t1)，W(t2)，W(tn)服从n维正态分布，因此W(t)为正态过程。 (2).维纳过程增量的分布只与
13、时间差有关, 所以它是齐次的独立增量过程. 它又是正态过程. 其分布完全由它的均值函数与自协方差函数所确定.维纳过程的均值函数、自协差函数、自相关函数分别为,方差随时间区间的长度呈线性增加 。,四 高斯过程（正态过程）,一、定义： 设X(t)为随机过程，如果对任意的正整数n及任意t1,t2,tnT，n 维随机变量(X(t1),X(t2),X(tn)服从n维正态分布，则称X(t)为正态过程。 正态过程是二阶矩过程。 记其均值函数为X(t),协方差函数为CX(s,t)。,二、正态过程的性质： 对任意的正整数n及任意t1,t2,tnT，n 维随机变量(X(t1),X(t2),X(tn)的分布由其相应
14、的均值及协方差矩阵完全确定，所以X(t)和CX(s,t)完全确定了X(t)的有限维分布，也就确定了它的全部统计特性。因而有：,1X(t),tT为正态过程，其统计特性由X(t)和CX(s,t)确定。 反之，可以证明，T=0,+,给定(t)和非负二元函数C(s,t)，则存在正态过程X(t)，使X(t)=(t)，CX(s,t)=C(s,t)。,定义：设随机过程X(t),tT，且对任意正整数n2，任意n个不同的t1,t2,tnT，随机变量X(t1),X(t2),X(tn)相互独立，则称此过程为独立随机过程。,2正态过程X(t),tT为独立随机过程正态过程，当任意s,t,st时，协方差函数CX(s,t)
15、=0.,证明：“” n2,因为X(t1),X(t2),X(tn)相互独立的正态随机变量，而正态随机变量X(t1),X(t2),X(tn)相互独立其两两互不相关，即：CX(s,t)=0, st.,“”因(X(t1),X(t2),X(tn)为n维正态随机过程，于是X(t1),X(t2),X(tn)为正态随机变量，又CX(s,t)=0, st，所以X(t1),X(t2),X(tn)相互独立。,3 X(t)为正态过程它的任意有限多个随机变量的任意线性组合是正态随机变量。 事实上，由正态的性质， n维正态随机变量的充要条件是其任意一维线性组合为一维正态随机变量，显然成立。,4X(t)为正态过程，则X(t)是严平稳过程X(t)是宽平稳过程。,证明：“” 因高斯过程是二阶矩过程，由严平稳过程性质，显然成立。 “”由已知：X(t)=X，Rx(t,t+)只与有关。 由严平稳过程定义，对任意的正整数n及任意t1,t2,tnT, t1+h,t2+h,tn+hT,要证：（X(t1),X(t2), X(tn)）与（X(t1+h),X(t2+h), X(tn+h)）同分布（*）。 而正态过程的分布由X及Rx(s,t)决定，X为常数。,即(*)式成立。,