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1、1.3 理想流体的流动,1、掌握理想流体、定常流动、流线与流管的概念及 其物理意义；,3、掌握伯努利方程及其应用；,2、掌握连续性原理及其应用；,本节要求,1.3.1 理想流体的定常流动,流体受压缩程度极小，其相应的密度变化可忽略，可看作不可压缩流体。,流体在流动时，若能量损耗可忽略不计，可看作非黏滞流体。,绝对不可压缩、完全没有黏滞性的流体,一、理想流体,二、 流体的流动,流体流速场的空间分布随时间变化。,“定常流动”并不仅限于“理想流体”。,（2）定常流动 空间中任一固定点始终具有相同的流速。,（1）非定常流动,流线：分布在流场中的许多假想曲线，曲线上每一点的切线方 向和该点的速度方向一致
2、。,空间每一点仅有一个流速方向， 所以流线不会相交。,流线密处，表示流速大。,三、流线（stream line）,四、流管（flow tube）,流管：由一组流线围成的管状区域称为流管。,通常所取的“流管”都是“细流管”。细流管的截面积 ，就称为流线。,流速大,作定常流动的液体可以视为由无数稳定的细流管组成，所以，任一流管中的流动可以代表整个流体的流动。,流管内、外的流体都不会穿越管壁。,两截面处的流速分别为 和 ，,取一细流管，任取两个截面 和 ，,1.3.2连续性原理（The principle of continuity）,描述了定常流动的流体任一流管中流体元在不同截面处的流速 与截面积
3、 的关系。,流体密度为 。,经过时间 ，流入细流管的流体质量,同理，流出的质量,流体作定常流动，故流管内流体质量始终不变，即,或,（常量）,上式称为连续性原理或质量守恒方程，其中 称为质量流量。,S1,S2,v1,v2,t,物理本质：体现了不可压缩的流体在流动中质量守恒,对于不可压缩流体， 为常量，故有,上式称为不可压缩流体的连续性原理或体积连续性方程， 其中 称为体积流量，简称流量， 。,是对细流管而言的。物理上的“细”，指的是截面上各处速度一样，不论多大，均可看成“细流管”。,对同一流管而言，C 一定。横截面积 小处则速度大，横截面积 大处则速度小。,单位： m3/s,其物理意义是单位时间
4、内通过横截面积S的液体体积。,例,求,解,一根粗细不均的长水管，其粗细处的截面积之比为41， 已知水管粗处水的流速为2ms-1。,水管狭细处水的流速,由连续性原理知,得,【例】横截面是4m2的水箱，下端装有一导管，水以2m/s从导管流出，如果导管横截面是10cm2，那么水箱下降时的速度是多少？,【解】设 , , 由连续性原理有 ，代入数据，得,1.3.3 伯努利方程及其应用,伯努利方程是理想流体定常流动的基本动力学方程，它是在理想流体中应用功能原理推导出来的结果。,伯努利人物简介,丹尼尔伯努利（17001782），数学、物理学、医学家。他自幼兴趣广泛、先后就读于尼塞尔大学、斯特拉斯堡大学和海德
5、堡大学，学习逻辑、哲学、医学和数学。1724年，丹尼尔获得有关微积分方程的重要成果，从而轰动欧洲科学界。丹尼尔的学术著作非常丰富，他的全部数学和力学著作、论文超过80种1738年他出版了一生中最重要的著作流体动力学17251757年的30多年间他曾因天文学(1734)、地球引力(1728)、潮汐(1740)、磁学(1743，1746)洋流(1748)、船体航行的稳定(1753，1757)和振动理论(1747)等成果，获得了巴黎科学院的10次以上的奖赏1747年他成为柏林科学院成员，1748年成为巴黎科学院成员，1750年被选为英国皇家学会会员，他还是波伦亚(意大利)、伯尔尼(瑞士)、都灵(意大
6、利)、苏黎世(瑞士)和慕尼黑(德国)等科学院或科学协会的会员，在他有生之年，还一直保留着彼得堡科学院院士的称号,他最出色的工作是将微积分、微分方程应用到物理学，研究流体问题、物体振动和摆动问题，他被推崇为数学物理方法的奠基人 1782年3月17日，丹尼尔伯努利在瑞土巴塞尔去世。,伯努利方程给出了作定常流动的理想流体中任意两点或截面上 、 及地势高度 之间的关系。,一、 伯努利方程的推导,如图，取一细流管，经过短暂时间 t ，流体从ab运动到ab。,流过两截面的体积分别为,由连续性原理得,流体经过t 时间动能变化量：,根据连续性原理，bb段的流体质量 等于aa段的流体质量， 设为 ，,流体经过t
7、 时间势能变化量：,t 时间内外力对该段流体做功：,由功能原理 ：,即,上式即为伯努利方程的数学表达式。,设两段流体元相对共同参考面的高度分别为 、,二、伯努利方程的意义,（3）伯努利方程广泛应用于水利、造船、化工、航天等领域。,（1）适用于理想流体的定常流动。,（2）对实际流体，只要其黏滞性很小，就可应用伯努利方程。 如空气、水和酒精。,a、空吸作用（Suction ）,原理：SB VB PB 当PB P0 时，产生空吸现象。,三、伯努利方程的应用,（1）等高流线中流速与压强的关系,当S较小时， 较大，P较小。,d1d2 =21 S1S2 = 41 且v 1= 1ms-1,解,得 v2 =
8、4v1 = 4 ms-1,又由,由 S1v1 =S2v2,得,粗管内的压强高于细管,水从图示的水平管道1中流入，并通过支管2和3流入管4。如管1中的流量为900cm3s-1. 管1、2、3的截面积均为15cm2,管4的截面积为10cm2,假设水在管内作稳恒流动，,例,求,解,（1）管2、3、4的流量;,（2）管2、3、4的流速;,（3）管1、4中的压强差.,v1,v2,v3,v4,(1)由连续性原理知 Q4= Q1 = 900cm3s-1,v1 = Q1S1 = 90015 = 60cms-1, S2 = S3 Q2 + Q3 = Q1, Q2 = Q3 = 450cm3s-1,(2) v2
9、= v3 = Q2S2 = 45015 = 30cms-1,v4 = Q4S4 = 90010 = 90 cms-1,得,(3)由伯努利方程,（测量管道中体积流量）,b. 汾丘里流量计,又由连续性原理,管道中B点的流速,对流线中等高的两点A、B，由伯努利方程,当S较大时， 较小，P较大。,解得：,管道中的流量,沿流线B A 列伯努利方程：,法国人皮托，1773年,（2） 流速的测定,流速大,驻点,由,选取B处为参考面，所以 hB=0, hA=h 解得,（3）射流速率,由伯努利方程：,可知，,即流体从小孔流出的速度与流体质量元由液面处自由下落到小孔处的流速大小相等。,-托里拆利公式,在一个开敞的大容器水面下h处的器壁上开有一个小孔，水由小孔流出。求小孔处水的流速。,PA= P 0 P B =P 0,例 容器内水的高度为H，水自离自由表面h深的小孔流出 求水流达到地面的水平射程x。,解：可看作理想流体做稳定流动, 从水面至小孔取一流线，水面流 速为零,小孔流速为v,由伯努利方程,水在小孔处以速度v作平抛运动，由平抛公式，有,由求得,代入中得,(4)从虹吸管管口吸出的液体速度,PA= P B =P 0,生活中的应用：给鱼缸、盆栽的花草进行自动的换水浇灌。,