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1.3 矢量场的环量 旋度,一、矢量场的环量与环量面密度,1、矢量场的环量,物理意义：若某一矢量场的环量不等于零，则场中有产生该矢量场的旋涡源。,2、环量面密度,二、矢量场旋度,1、旋度的定义,方向：环量面密度取最大值的面元正法线方向。,大小：等于该环量面密度最大值。即,2、旋度在坐标系下的表示,在直角坐标系中的表示,在圆柱坐标系中的表示,在球坐标系中的表示,3、旋度的性质,矢量场的旋度是一个矢量。,矢量场在某点处的旋度表示该点的旋涡源密度。,4、旋度运算的基本公式,三、斯托克斯定理,斯托克斯定理是矢量场的曲面积分与曲线积分之间的一个转换关系。,四、旋度与散度的区别,矢量场的旋度是矢量函数，矢量场的散度是标量函数。,旋度描述场量与旋涡源的关系，散度描述场量与通量源的关系。,如果矢量场的旋度为零，则称为无旋场(或保守场)；如果矢量场散度为零，则称为无源场。,旋度描述场分量在与其垂直的方向上的变化规律；散度描述场分量沿着各自方向上的变化规律。,【例题1】求矢量场A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0，1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。,【解】矢量场A的旋度,在点M(1，0，1)处的旋度,n方向的单位矢量,在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度,【解】,