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1、1,5.1.2 简单迭代法,已知根 的存在区间a,b,自然可取中点c作为根 的精略近似值x0。为求逐次逼近 的近似值x1,x2, ,自然希望使用相同公式xk+1= (xk),k=0,1,2, (5-3) 利用此式求根近似值的方法称为简单迭代法。 Xk 称为迭代序列， (x)称为迭代函数，上式称为迭代格式。显然，如果迭代序列收敛于 ,且 (x),2,= = = （ ）=,即根 满足方程 x= (x) (5-4) 因此，为保证迭代序列逐次逼近方程f(x)=0的根，应当选取迭代函数 (x),使方程(5-4)与(5-1)同解。,例5-1 用简单迭代法求区间(2,3)内方程x3-2x-5=0的根 解一
2、将方程两边同加2x+5,再开三次方，得式(5-4)型同解方程 x= 作迭代格式 xk+1= ,k=0,1, 取x0=2.5,迭代得 x1=2.154434690,x2=2.103612029,x3=2.095927410,3,X4=2.094760545,x5=2.094583250,x6=2.094556309 X7=2.094552215,x8=2.094551593,x9=2.094551498 X10=2.094551484,x11=2.094551482=x12 由于x12=x11,再迭代已无变化，可见 x11,解二 将方程x3-2x-5=0两边同加2x3+5,再同除3x2-2,得同
3、解方程 x=(2x3+5)/(3x2-2) 作迭代格式 xk+1=(2xk3+5)/(3xk2-2) 取x0=2.5,得迭代序列:x1=2.164179104,x2=2.097135356,x3=2.094555232, X4=2.094551482=x5,故 x4,4,作迭代格式 xk+1=(xk3-5)/2 令x0=2.5,得迭代序列:x1=5.3125,x2=72.46643066, X3=190272.0118,x4=3.444250536 1016 ,x5=2.042933398 1046,计算x6时溢出,简单迭代收敛定理 设迭代函数 (x)满足条件： 1 当x a,b时 (x) a
4、,b 2 存在正数L1,使对任意x a,b有 L1 则对任意初值x0 a,b,迭代序列(5-3)收敛于方程x= (x)在 a,b上的唯一根,5,证: 先证x= (x)在a,b上有唯一根。因 存在,故 (x)连续。令g(x)=x- (x),则g(x)连续。由条件1知g(a)=a- (a) 0,g(b)=b- (b) 0,故存在 a,b,使g( )=0,即 = ( ),证明了方程x= (x)有根。假定还有根 ,则由拉格朗日中值定理及条件2得,0 = =,即正数 小于其自身。这是不可能的。这说明方程(5-4)只有一根。 最后证明xk收敛于 。由条件2知,L ,6,= = L L2,因为0 L1, 可
5、见k 时， 。证毕。,定理中条件2最重要。实际上，假定在根 的某邻域 上 ，则对此邻域上任意x 说明 (x)也在此邻域，条件1自然成立。,实际问题中满足条件2的区间a,b难以求得。但若 连续，则在根 邻域 。因此， 1,满足 的邻域 必定存在。所以取初值x0充分靠近根 ，迭代序列xk必收敛于根 。这种在根的邻域具有,7,的收敛性，称为局部收敛性。当 时，在根 的邻域也比有 ；因此，当xk位于此邻域时，,= =,表明xk+1比xk距离 更远，可见迭代序列必不收敛于 。,对于例5-1三种解法的迭代函数，因 2.094551482,可知,，,8,根据上述道理，前两种迭代收敛，第三种迭代发散。 由定理的证明可见，xk的误差,由于L越小Lk趋于零越快，可知L越小xk收敛于 越快。 在定理条件下，xk的误差也满足,这是因为，,9,故,10,令m ,则得公式(5-6).,序列xk收敛于 时，如果,(5-7),一,则称xk是p阶收敛的。特别，当p=1时称线性收敛；p1时称称超线性收敛；p=2时称平方收敛。在迭代函数 充分可导时，由泰勒公式知,11,可见 时线性收敛，,但 时p阶收敛。对例5-1前两种解法，,故解法一迭代序列线性收敛，解法二迭代序列超线性收敛。进一步可证,故解法二平方收敛。一般收敛阶数p越大，迭代序列收敛越快；线性收敛时常数c(称渐进常数)必满足0c1;常数c越小，收敛也越快。,