《级数收敛的巧妙判定.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《级数收敛的巧妙判定.ppt（35页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、23.02.2021,1,级数,收敛判别法,23.02.2021,2,内容提要,常数项级数复习和判敛法 函数项级数和一致收敛 求和号下取极限 幂级数与Taylor展开 三角级数与Fourier展开 Weierstrass定理,23.02.2021,3,常数项级数定义复习,级数定义：对于数列 , 称 为级数(无穷和). 称 为级数 为前n项和 或第n个部分和, 简称部分和; 称 为级数 的部分和序列. 数列中的项也称为级数的项.,23.02.2021,4,常数项级数收敛复习,级数收敛: 如果部分和序列 收敛就说 级数 收敛, 并且定义部分和序列 的 极限为级数 的和, 记为,23.02.2021
2、,5,常数项级数发散复习,级数发散: 如果部分和序列 发散就说 级数 发散. 特别当部分和序列发散向+ 或-，记为 或,23.02.2021,6,收敛级数的线性性质,若级数 和 收敛, 则级数 收敛, 且,23.02.2021,7,级数的敛散性与级数的前有限项无关,设N是一个给定的正整数, 则级数 的 敛散性(即收敛与否)与级数 的敛散性 相同. 证明: 习题#,23.02.2021,8,常数项级数的分类,按级数各项的符号分为正项级数(如 果级数的每一项都非负)和变号级数 (如果有的项为正,也有的项为负. 对收敛级数按其绝对值级数 是 否收敛分为绝对收敛 级数和条件收敛 级数,23.02.20
3、21,9,常数项级数的收敛准则,Cauchy准则: 级数 收敛的充分必要条 件是: , N, mnN 推论: 如果绝对值级数 收敛, 则级数 收敛.,23.02.2021,10,例题一,判断下列级数的敛散性,23.02.2021,11,常数项级数收敛的必要条件,如果级数 收敛则 . 证明：记 . 注意n1, 因此,23.02.2021,12,例题二,下列级数发散,23.02.2021,13,正项级数的收敛原理,正项级数收敛的充要条件是其部分 和数列有上界. 证明: 此时部分和数列单调递增的. 由单调数列收敛定理就得到结论. #,23.02.2021,14,正项级数的比较原理,设 和 是两个正项
4、级数, 且存在N, 当nN时, . 则下列两个结论成立: 若 收敛, 则 收敛; 若 发散, 则 发散. 证明：练习. #,23.02.2021,15,比较原理的极限形式,设 和 是两个正项级数, 存在N, 当nN时, . 如果 , 则下列结论 成立. (1) 若 , 收敛, 则 收敛; (2) 若 , 发散, 则 发散. #,23.02.2021,16,例题三,讨论下列级数的敛散性,23.02.2021,17,正项级数积分判敛法,设级数 满足 , 其中是 上单调下降的正函数. 则级数 的 敛散性(即收敛与否)与积分 的敛散性相 同. 证明：习题#,23.02.2021,18,例题四,讨论下列
5、级数的敛散性,23.02.2021,19,两类标准级数,几何级数 : 当|r|1时, 收敛; p1时,发散. 证明：积分判敛法,23.02.2021,20,级数的例子,Euler常数： 不是级数 收敛的充分条件. 例子：调和级数,23.02.2021,21,参照几何级数的判敛法,dAlambert(达兰贝尔)判敛法 Cauchy(柯西)判敛法,23.02.2021,22,dAlambert(达兰贝尔)判敛法,设级数 的各项为正, 如果极限 则 q1时, 级数发散; q=1 时需用其他方法#,23.02.2021,23,Cauchy(柯西)判敛法,对于任意级数 , 如果上极限 则 q1时, 级数
6、发散; q=1 时需用其他方法#,23.02.2021,24,例题五,判断下列级数的敛散性：,23.02.2021,25,正项级数第二比较原理,设 和 是两个正项级数, 且存在N, 当nN时, . 则下列两个结论成立: 若 收敛, 则 收敛; 若 发散, 则 发散. 证明：练习. #,23.02.2021,26,参照p级数的判敛法,Raabe(拉贝, 1801-1859, 瑞士)判敛法: 设级数 的各项为正, 如果极限 q1时, 级数收敛; q1时, 级数发散; q=1 时需用其他方法#,23.02.2021,27,拉贝判敛法证明,q1时, 为简单起见, 设 即 注意到: 因此,23.02.2
7、021,28,拉贝判敛法证明(续),q1时, 为简单起见, 设 即 因此,23.02.2021,29,例题六,判断下列级数的敛散性：,23.02.2021,30,变号级数的判敛法,Dirichlet判敛法 Leibniz判敛法 Abel判敛法,23.02.2021,31,Dirichlet判敛法,设数列 单调递减到零，级数 的 部分和序列一致有界. 则级数 收敛, 并 且,23.02.2021,32,Dirichlet判敛法的证明,注意等式(*)右端的级数收敛, 考虑左端级数的部分和 令n趋于无穷, 就得到等式(*).,23.02.2021,33,Leibniz判敛法,设数列 严格单调递减到零，则级数 收敛. 证明：取 , 然后应用Dirichlet判 敛法.#,23.02.2021,34,Abel判敛法,设数列 单调递减地收敛到A，级数 收敛. 则级数 收敛, 并且 证明: 由Dirichlet判敛法(*)右端第一个级 数收敛. 余下利用级数的线性性质.#,23.02.2021,35,例题七,判断下列级数的敛散性：,