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1、线性代数,Email:,1 可逆矩阵,第三章 矩阵的逆,概念的引入,定义1,例1 设,说明,(1) 可逆矩阵只可能在方阵中产生.,（2）并不是所有的方阵都有可逆矩阵， 如n阶零矩阵就不是可逆矩阵.,定理1,证,充分性.,性质1,证,性质2,证,性质3,证,性质4,证,性质5,性质6,例,求A的逆矩阵，其中,解,例3,（2） 分析,分析,解矩阵方程,矩阵方程,解,例4,解,给方程两端左乘矩阵,给方程两端右乘矩阵,得,例5,证,例6,解,例7,证,于是,由分块矩阵的乘法得,再根据分块矩阵相等的定义得到,例8,证明,2 初等矩阵与逆矩阵的求法,定义1,下面三种变换称为矩阵的初等行变换:,矩阵的初等变
2、换,同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”),定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统 称为初等变换,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同,逆变换,逆变换,逆变换,等价关系的性质：,具有上述三条性质的关系称为等价,定义3 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价.,定义4 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.,三种初等变换对应着三种初等方阵.,矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.,初等矩阵的概念,三种初等矩阵,例1 以下矩阵是否初等矩阵?,4、初等矩阵均可逆,3、初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵.,定理1 设 A 是一个 m n
3、 矩阵 , 对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换 , 相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.,初等矩阵的应用,初等变换,初等,矩阵,称B为A的标准形.,定理2方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵,证,(充分性),(必要性),推论1 方阵A可逆的充分必要条件是,证,推论 方阵A可逆的充分必要条件是,推论2,5、利用初等行变换求逆矩阵的方法：,解,例3,即,初等行变换,6、,例4,解,7、还可利用初等列变换求逆阵：,逆矩阵的求解,例:求A的逆矩阵,解：,注意:用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何
4、列变换同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换,三、小结,2. 利用初等变换求逆阵的步骤是:,3 克拉默法则,设线性 方程组,则称此方程组为非,齐次线性方程组;,此时称方程组为齐次线性方程组.,一、非齐次与齐次线性方程组的概念,二、克拉默法则,记其系数行列式为,含有 n 个未知数 的 n 个线性方程的方程组,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,当系数行列式 D0 时 , 线性方程组 (1) 有解，并且解是唯一的，解可以表为,例1 用克拉默 则解方程组,解,例2 解线性 方程组,解：把线性方程组改写称标准形式,三、
5、重要定理,定理1 如果线性方程组(1)的系数行列式 D 0, 则(1)一定有解,且解是唯一的.,定理2 如果线性方程组(1)无解或 有两个不同的解，则它的系数行列 式必为零.,四、齐次线性方程组的相关定理,齐次线性方程组,一定是 (2) 的解，称为齐次线性方程组的零解.,若一组不全为0的数是 (2) 的解，称为齐次线性方程组的非零解.,齐次线性方程组的相关定理,定理3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式D 0, 则齐次线性方程组(2)没有非零解.,“没有非零解”即“只有零解”,定理4 如果齐次线性方程组(2)有非零解,则它的系数行列式必为零.,则 (2) 有非零解.,若系数行列式 D=0 ,
6、例3 问 取何值时，齐次方程组,有非零解？只有零解？,解,齐次方程组有非零解，则,所以 或 时齐次方程组有非零解.,1. 用克拉默法则解方程组的两个条件,(1)方程个数等于未知量个数;,(2)系数行列式不等于零.,2. 克拉默法则建立了线性方程组的 解和已知的系数与常数项之间的关系. 它主要适用于理论推导.,五、小结,思考题,当线性方程组的系数行列式为零时, 能否用克拉默法则解方程组?为什么? 此时方程组的解为何?,思考题解答,不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解.,第三章 矩阵的逆总结,一、基本内容 逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件，伴随矩阵，矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的等价，线性方程组的克莱姆法则。,二、基本要求 1 理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，会用伴随矩阵求低阶可逆矩阵的逆。 2 掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法。 3 会解简单的矩阵方程。 4 会用克莱姆法则。,