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1、（选学内容）,对偶及鞍点问题,对偶及鞍点问题,Lagrange对偶问题,(1),定义(1)的对偶问题:,(2),Lagrange函数,例：考虑线性规划问题,若取集合约束D=x|x0，则该 线性规划问题的Lagrange函数为,线性规划的对偶问题为：,求下列非线性规划问题的对偶问题:,对偶问题为:,求下列非线性规划问题的对偶问题:,对偶问题为:,求下列非线性规划问题的对偶问题:,对偶定理,定理1(弱对偶定理),推论1:,推论2:,推论3:,推论4:,引理 设D为非空的凸集,为凸函数,为凹函数,为线性函数., 使得,(2) 存在,使得, 并且,对于下面的两个不等式系统:,(1)存在,若系统(1)无
2、解, 则系统(2)有解; 若系统(2)有满足,的解, 则系统(1)无解.,证明 先证结论的第一部分: (1)无解,(2)有解.,根据函数的凸(凹)性和凸集的定义, 易证,是非空的凸集.,. 由凸集分离定理可知, 存在, 使得,分别令,于是有,特别地, 上式对于,也成立, 因此(2)有解.,令集合,若(1)无解, 则,(2)有解,(1)无解.,的解, 由于,所以对于任何满足,的点,利用,可知,也就是说,因此, 系统(1)无解.,假设(2)有满足,强对偶定理:,考虑如下约束优化问题,该问题的Lagrange函数为,鞍点最优性条件,Lagrange函数,定义:,结论:,Lagrange函数的鞍点必是Lagrange函数 关于x的极小点及关于(w, v)(w0)的极大点.,鞍点定理:,例,鞍点与KKT条件之间的关系,定理：,