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1、1,6 子空间的交与和,主要内容,子空间的交,子空间的和,目录 下页 返回 结束,子空间的交与和的性质,维数公式,2,一、子空间的交,首页 上页 下页 返回 结束,3,子空间的交的运算规律:,1) 交换律 V1V2 = V2V1 ；,2) 结合律 (V1V2 )V3 = V1(V2V3 ) .,由结合律，我们可以定义多个子空间的交：,它也是子空间.,首页 上页 下页 返回 结束,4,二、子空间的和,定义8 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空间, 所谓 V1 与 V2 的和，是指由所有能表示成1 + 2 ，而1 V1 ，2 V2 的向量组成的子集合，记作 V1 + V2 ，即 V1
2、+ V2 = | = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 ,首页 上页 下页 返回 结束,5,首页 上页 下页 返回 结束,6,注：,首页 上页 下页 返回 结束,7,子空间的和的运算规律,1) 交换律 V1 + V2 = V2 + V1 ；,2) 结合律 (V1 + V2 ) + V3 = V1+ (V2 + V3 ) .,由结合律，我们可以定义多个子空间的和：,的向量组的子空间.,它是由所有表示成,1 + 2 + + s , i Vi ( i = 1 , 2 , , s ),首页 上页 下页 返回 结束,8,三、子空间的交与和的性质,1. 设 V1 , V2 , W 都是子空间，那么由
3、W V1 与W V2可推出W V1V2 ;而由W V1与W V2可推出 W V1 + V2 .,2. 对于子空间V1 , V2 , 以下三个论断是等价的:,1) V1 V2 ； 2) V1 V2 = V1 ； 3) V1 + V2 = V2 .,首页 上页 下页 返回 结束,9,首页 上页 下页 返回 结束,10,例2 设 V1 = L(1 , 2 ) , V2 = L(1 , 3 )是 R3 两个不同的 2 维子空间，求 V1 V2 和 V1 + V2 ，并指它们的几何意义.,解,因为 V1 和 V2 是两个不同的子空间，所以,1 , 2 , 3 线性无关，,从而 V1 = V2 与题设矛盾
4、.,于是由子空间的交与和,的定义可得,V1V2 = L(1 ), V1 + V2 = L(1 , 2 , 3 ) = R3 .,否则 3 可由 1 , 2 线性表示,其几何意义是：V1 = L(1 , 2 ) 是向量 1 , 2 所,确定的平面，,V2 = L(1 , 3 ) 是向量 1 , 3 所确定,首页 上页 下页 返回 结束,11,的平面，,个 3 维空间.,V1V2 是这两个平面的交线，,V1 + V2是整,x,o,y,z,1,2,3,V1,V2,首页 上页 下页 返回 结束,12,例3 设 V1 , V2 分别是 P 3 中齐次方程组,与,首页 上页 下页 返回 结束,13,的解空
5、间.,首页 上页 下页 返回 结束,的解空间，那么V1V2 就是齐次方程组,14,首页 上页 下页 返回 结束,15,四、维数公式,首页 上页 下页 返回 结束,16,首页 上页 下页 返回 结束,17,首页 上页 下页 返回 结束,18,首页 上页 下页 返回 结束,19,首页 上页 下页 返回 结束,20,从维数公式可以看到, 和的维数往往要比维数,的和来得小.,例如，在三维几何空间中，两张通,过原点的不同的平面之和是整个三维空间，而其,维数之和却等于 4 .,由此说明这两张平面的交是,一维的直线.,首页 上页 下页 返回 结束,21,推论 如果 n 维线性空间 V 中两个子空间 V1,
6、V2 的维数之和大于 n , 那么 V1 , V2 必含有非零的公共向量.,首页 上页 下页 返回 结束,22,解,因为,V1 + V2 = L(1 , 2 , 3 ) + L(1 , 2),= L(1 , 2 , 3 , 1 , 2) ,所以向量组1 , 2 , 3 , 1 , 2 的一个极大无关组就,首页 上页 下页 返回 结束,23,是 V1 + V2 的一组基.,把向量组 1 , 2 , 3 , 1 , 2,中的每个向量作为矩阵的一列，构造矩阵 A，对A,进行初等行变换，化成行最简形：,行变换,首页 上页 下页 返回 结束,24,由 A 的行最简形矩阵,1 , 2 , 1 线性无关，且
7、 2 = 1 - 32 + 41 .,于是,1 , 2 , 1 是 V1 + V2 的一组基，维(V1 + V2 ) = 3；,又由A的行最简形知1, 2 是V1 的一组基, 维(V1)= 2,维(V1V2 ) = 维(V1) + 维(V2) - 维(V1 + V2 ),= 2 + 2 - 3 = 1 .,1 , 2 是V2 的一组基，维(V2) = 2. 所以,首页 上页 下页 返回 结束,25,由 2 = 1 - 32 + 41 得,1 - 32 = - 41 + 2 = (-4, -5, 7, 6) V1V2 .,于是 (-4, -5, 7, 6) 是 V1V2 的一组基.,首页 上页 返回 结束,26,首页 上页 下页 返回 结束,27,首页 上页 下页 返回 结束,