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1、2.4.1 抛物线及其标准方程,3、实际生活中如探照灯的轴截面、桥梁的拱形、喷泉的纵截面都是抛物线。,我们在哪些地方见过或研究过抛物线？,1、初中时我们学过二次函数，它的图象是抛物线；,2、物理中研究的平抛运动和斜抛运动的轨迹是抛物线或抛物线的一部分，如投篮时篮球的运动轨迹；,知识回顾,赵州桥,美丽的喷泉,复习回顾： 我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：,都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线距离的比是常数e的点的轨迹.,(2) 当e1时，是双曲线;,(1)当0e1时,是椭圆;,(其中定点不在定直线上),那么,当e=1时，它又是什么曲线 ？,电脑演示,平面内与一个定点F和一条
2、定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l 叫做抛物线的准线。,定义:,求标准方程,如何建立直角 坐标系？,想一想,设KF= p,设动点M的坐标为（x，y），,由定义可知，,K,过F做直线FK垂直于直线l，垂足为K。以直线KF为x轴，线段KF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy。,方程 y2 = 2px（p0）叫做 抛物线的标准方程。,其中 p 为正常数，它的几何意义是:,焦 点 到 准 线 的 距 离,对“标准”的理解,一般地，我们把顶点在原点、焦点F 在坐标轴上的抛物线的方程叫做抛物线的标准方程. 但是，一条抛物线，由于它在坐
3、标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.,y,K,F,M,N,o,x,F,M,l,N,y2 = 2px（p0）,填表：抛物线标准方程的四种不同形式,y2=2px (p0),x2=2py (p0),x2=2py (p0),例1 (1)已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程；,（2）已知抛物线的方程是，求它的焦点坐标和准线方程；,(3)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2)，求它的标准方程,、例题讲解：,解：（1）因为焦点在x轴的正半轴上，p=3，所以焦点坐标是 ，准线方程是 .,（2）因为抛物线的标准方程 ，焦点在y轴的正半轴上， ，所以焦点坐标是 ，准线方程是
4、是 .,（3）因为焦点在y轴的负半轴上，并且 ，p=4,所以所求抛物线的标准方程是,练习1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：,.,练习2 根据下列条件写出抛物线的标准方程：,(1)焦点是F(0,-2)；,(2)准线方程是 ；,(3)焦点到准线的距离是2.,求抛物线的焦点时一定要先把抛物线化为标准形式；,本题小结:,先定位，后定量。,(2)抛物线 上与焦点的距离等于9的点的坐标是_；,a,如图,M点是抛物线 上一点,F是抛物线 的焦点, 以Fx为始边,FM为终边的角 ,求 .,练习3,4,例3.点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.,2.4.2 抛物线
5、的简单几何性质,一、抛物线的几何性质,抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。,1、范围,由抛物线y2 =2px（p0）,所以抛物线的范围为,2、对称性,定义：抛物线和它的对称轴的交点称为抛物线 的顶点。,由y2 = 2px （p0）当y=0时,x=0, 因此抛物线的顶点就是坐标原点（0，0）。,注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。,、顶点,4、离心率,抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离 之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义，可知e=1。,特点：,1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;,2.抛物线只有
6、一条对称轴,没有 对称中心;,3.抛物线只有一个顶点、 一个焦点、一条准线;,4.抛物线的离心率是确定的,为1;,思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.,F,A,B,y2=2px,2p,过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，,利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.,|AB|=2p,2p越大，抛物线张口越大.,（二）归纳：抛物线的几何性质,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,x0 yR,x0 yR,y0 xR,y 0 xR,(0,0),x轴,y轴,1,例：已知抛物线关
7、于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（，），求它的标准方程。,变式:顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，并且经过点M（，），抛物线的标准方程。,例2：已知抛物线的方程为y2=4x,直线l 经过点P(-2,1),斜率为k.当k为何值时,直线与抛物线:只有一个公共点;有两个公共点:没有公共点.,练1:已知直线过点(0,-2)且与x2=2y恰有 一个公共点,求直线方程,判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一）,把直线方程代入抛物线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与抛物线的 对称轴平行（重合）,相交（一个交点）,计 算 判 别 式,例3：斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点,
8、且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。,1.点A的坐标为(3，1)，若P是抛物线 上的一动点，F是抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小值为( ) (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6,例4：已知过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被Q平分,求弦AB所在的直线方程.,例6：求抛物线y2=64x上的点到直线4x+3y+46=0的距离的 最小值,并求取得最小值时的抛物线上的点的坐标.,例5：已知抛物线 上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于 直线y=x+m对称,若x1x2=-1/2,则m的值为_,1.已知过抛物线y2=9x的焦点的弦长为12,则弦所在直线 的倾斜角
9、是_,例7、过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。,x,y,O,F,A,B,D,例8、已知过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于 两点。 （1） 是否为定值？ 呢？ （2） 是否为定值？,这一结论非常奇妙, 变中有不变,动中有不动.,由此可得|y1|=|y2|,，即线段AB关于x轴对称。,因为x轴垂直于AB，且 ，,例9、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 上，求这个三角形的边长。,解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则,又|OA|=|OB|，所以x12+y12=x22+y22,即 x12-x22+2px1-2px2=0, (X12-x22)+2p(x1-x2)=0,A,B,(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.,X10，X20，2p0,X1=X2.,所以,(x1,y1),(x2,y2),例11.已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点的纵坐标的最小值。,.,x,o,y,F,A,B,M,解：,