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1、运筹学（OR:operational research(英) operations research(美) ）,2 线性规划（LP:Linear Programming ）问题与图解法,2.1 问题的提出,生产计划问题 某厂生产两种产品，需要三种资源，已知各产品的利润、各资源的限量和各产品的资源消耗系数如下表,问题：如何安排生产计划，使得获利最多？ 步骤： 1、确定决策变量：设生产A产品x1kg,B产品x2kg 2、确定目标函数：maxZ=70X1+120X2 3、确定约束条件： 人力约束 9X1+4X2360 设备约束 4X1+5X2 200 原材料约束3X1+10X2 300 非负性约束X
2、10 X20,配料问题:每单位原料i含vitamin如下：,求：最低成本的原料混合方案,解：设每单位添加剂中原料i的用量为xi (i =1,2,3,4),minZ= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4,线性规划问题的基本特征,决策变量：向量(x1 xn)T 代表一个具体的方案，一般有xi非负 约束条件：线性等式或不等式 目标函数：Z=(x1 xn) 线性式，求Z极大（Max）或极小(Min),线性规划问题的一般形式,Max(min)Z=C1X1+ C2X2+CnXn,简写式,向量式,其中：C=(c1,c2,cn)价值向量 X=(x1,x2,xn)T决策向量 Pj=(a1j.a2j,amj)T
3、系数向量 B=(b1,b2,bn) T 资源向量,矩阵式,其中系数矩阵,2.2线性规划问题的图解法,1图解法用于求解两个决策变量的线性规划问题，图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。 如： maxZ=70X1+120X2 人力约束 9X1+4X2360 设备约束 4X1+5X2 200 原材料约束3X1+10X2 300 非负性约束X10 X20,.,90 80 60 40 20,0 20 40 60 80 100,x1,x2,9x1+4x2 360,4x1+5x2 200,3x1+10 x2 300,A,B,C,D,E,F,G,H,I,Z=70 x1+120 x2,图中阴影部
4、分为可行域（满足约束条件的点的集合） 可行解：满足约束条件的解 可行域是可行解的集合 当等值线Z=70 x1+120 x2 平行移动到 H点时Z取得最大值 此时，x1=20,x2=24 Z=70*20+120*24 设备和原材料恰好使用完，而人力节余84个单位 即：设备约束和原材料约束条件取等号，而人力约束条件仍然取不等号,2线性规划问题的解,可行解：满足约束条件的解X=(x1,x2,xn)F 可行域:可行解的集合(线性规划问题的可行域一般为凸集) 最优解：使目标函数达到最优的可行解 若线性规划问题有唯一最优解，则最优解一定在可行域的顶点处取得,线性规划问题可能存在无穷多个最优解（若线性规划问
5、题有两个最优解，则一定有无穷多个最优解） 线性规划问题可能存在无界解（即无最优解） 线性规划问题可能存在无可行解（此时无最优解，可行域为空集）,3 线性规划问题的标准型,目标函数极大化（或极小化） 约束条件为等式，且右端常数全为非负 决策变量非负,化标准型,maxZ=70X1+120X2 maxZ=70X1+120X2 +0S1 +0s2 +0s3 9X1+4X2360 9X1+4X2+S1 =360 4X1+5X2 200 4X1+5X2 +s2 =200 3X1+10X2 300 3X1+10X2 +s3 =300 X10 X20 Xj0 j=1,2 其中S1， s2 ，s3 0为松弛变量
6、,化标准型,minZ=x1+2x2-3x3 maxZ=x12x2+3(x3x”3) x1+x2+x3 9 x1+x2+x3 x”3 + s1=9 -x1-2x2+x3 2 x12x2+x3 x”3 s2= 2 3x1+x2-3x3=5 3x1+x23(x3 x”3 )=5 x1 0 x2 0 x3无约束 x1 0 x2 0 x3 0 x”3 0 s10 s2 0 其中s1 为松弛变量，s2为剩余变量 x3x3x”3,+0s1 +0s2,线性规划的标准型,下列情况具体处理 若要求目标函数求最大化 若约束方程为不等式：非负松弛变量，非负剩余变量 若变量不是非负：非正，自由变量， 右边为非正 任何形式的线性规划模型都可以化为标准型。,