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1、一元二次方程的解法- 公式法和因式分解法讲义要点、公式法解一元二次方程1. 一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2. 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：当时，原方程有两个不等的实数根；当时，原方程有两个相等的实数根；当时，原方程没有实数根.3. 用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：把一元二次方程化为一般形式；确定 a、 b、 c 的值（要注意符号）；求出的值；若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（ 1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用 .（2）一元二次方程 ax2b
2、x c0 ( a 0) ，用配方法将其变形为：( xb )2b24ac2a4a2当b24ac0时，右端是正数b b24ac因此，方程有两个不相等的实根：x1,22a 当b24ac0时，右端是零因此，方程有两个相等的实根：x1,2b2a 当b24ac0时，右端是负数因此，方程没有实根.第 1页1. 若 a 是方程 2x2 x 3=0 的一个解，则6a23a 的值为（）A 3B 3C9D 92.三角形的两边分别为 2和 6，第三边是方程x2 10x 21 0 的解，则第三边的长为 ()A 7B 3C 7 或 3 D无法确定3.若关于 x 的方程 x2+3x+a=0 有一个根为 1，则另一个根为（）
3、A 2B 2C4D 34.一元二次方程x2+32x=0 的解是5. 用公式法解下列方程(1) x2+3x+1=0；(2)2x24x 1；(3)(4)5y+2=3y26用公式法解下列方程：(1)2x2 x 6 0；(2)x2 4x2；(3)5x2 4 12 0；(4)42 4 10 1 8 .xxxx(5)x 2=5 12x(6)3x24x 1=0要点、因式分解法解一元二次方程1. 用因式分解法解一元二次方程的步骤（ 1）将方程右边化为 0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积；（ 3）令这两个一次式分别为 0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2. 常
4、用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：必须将方程的右边化为0；方程两边不能同时除以含有未知数的代数式 .2（ 1）已知方程 4x2-3x=0 ，下列说法正确的是（）3B.只有一个根 x=0A. 只有一个根 x=433C. 有两个根 x1=0,x 2=D.有两个根 x1=0,x2=-44（2）如果 (x-1)(x+
5、2)=0 ，那么以下结论正确的是（）A.x=1 或 x=-2B. 必须 x=1C.x=2 或 x=-1D. 必须 x=1 且 x=-2（3）方程（ x+1） 2=x+1 的正确解法是（）C.化为 x2+3x+2=0A. 化为 x+1=1B. 化为（ x+1 ）（ x+1-1 ） =0D.化为 x+1=0（ 4 ） 用 因 式 分 解 法 解 方 程5 （ x+3 ） -2x （ x+3 ） =0 ， 可 把 其化 为 两 个 一 元 一 次 方程、求解。（5）当 k时， (k 1)xk2 1x 20是一元二次方程。第 2页（6）关于 x 的一元二次方程 (a 1)x2xa2 1 0 有一根为
6、0,则 a 的值是。(7) 一元二次方程x（ x 3） =3 x 的根是（）A 1B 3C 1 和 3D 1 和 25. 用因式分解法解下列方程：2；(2)(2x+3)2(1) （ 2x1） 2x+1=0-25 0；（3） 3 x(2 x1) 4x2（ 4） x2 1=2（ x+1 ）3解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4 0；(2)(3x 1)(x 1)(4 x1)(x 1) 4用适当的方法解下列方程：（1） 2（x+3）2 =x2-9（ 2） 3(x5)22(5x)（3） ( x 2)( x 1) 10（ 4） (2 x 1)23 6x5用不同的方法解方程：（1）
7、( x3)24x(x 3) 0 （2）（ 2x-1 ）2=(3x+2) 26. 如图所示，在 ABC中， C 90， AC 6cm，BC 8cm，点 P 从点 A 出发沿边 AC向点 C以 1cm/s 的速度移动，点 Q从 C点出发沿CB边向点 B 以 2cm/s 的速度移动(1)如果 、Q同时出发，几秒钟后，可使的面积为 8 平方厘米？PPCQ(2)点 P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ的面积等于 ABC的面积的一半若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由专题一元二次方程的解法一、一元二次方程和方程解的概念|m|.1若方程 (m+2)x+3mx 1=0 是关于 x 的一元二次
8、方程，则 m=2已知 x=1 是一元二次方程x2 mx+1=0 的一个解，则 m 的值是（）A 2B 0C 0 或 2D 2二、用公式法解方程3解方程：（1） x3+x 1=0（ 2） x2+3x 1=0三、用配方法解方程4解方程：（ 2） 5(x 3)2=125（1） x (x+2)=1四、用因式分解法解方程5解方程：（2） x2 6x=9（1） x (x 2)= x五、选择你喜欢的方法解方程6解方程：（1） 3x2+(x 2)=0（2） (2x 1) (x+3)=4（3） 3x (x 1)=2(x 1)（4） (2x 1)2=(3 x)2第 3页作业一、按要求解下列方程:5264（直接开平
9、方法）2.x27 x60 ( 因式分解法 )1. （ x -）8133.x26x3 0 ( 配方法 )4.2x2x30 (求根公式法 )5. 2（ x 3）2=8（直接开平方法）6.4x2 6x 3=0（运用公式法）7. （ 2x 3）2=5（ 2x 3）（运用分解因式法）8. （ x+8 ）（ x+1 ）= 12（运用适当的方法）二、用适当的方法解下列各题:9 (x1)(x3)1210 ( x 2) 26x11 (2 x3)23(2 x3)4012.x 270x825013、关于 x 的一元二次方程x2 4x+3=0 的解为（）A x1= 1， x2=3 B x1=1 ， x2 =3 C x
10、1=1， x2 =3D x1= 1，x2= 314、一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2 7x+10=0 的两根， 则该等腰三角形的周长是（）A 12B 9C 13D 12 或 915一元二次方程5x22 x0 的解是（）A x1 = 0 ，x2 = 2 B. x1 = 0 ， x2 =5 Cx1 = 0 ， x2 = 5D x1= 0 ， x2 = 2522516.若 n（ n0 ）是关于 x 的方程 x2mx 2n0 的根，则 m+n的值为（）A.1B.2C.-1D.-217.方程 ( x3)( x1)x3 的解是。18. 方 程 x29x1 80的 两 个 根 是 等 腰 三 角 形 的 底 和 腰 ， 则 这 个 三 角 形 的 周 长为。19.在实数范围内定义运算“”，其法则为： aba2b2 ，求方程（43） x 24的解20利用公式法解下列一元二次方程（1） 4x x2=x2+2；（ 2） 3x 1=2x2.21用因式分解法解下列方程：（1） (x 1)2 2(x 1)=0（ 2） (3x 1)2 4=0（3） 5x (x 3)=( x 3) (x+1)（ 4） (x 4)2(5 2x)2=0第 4页