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1、问题4深化点 正确的找直线与平面所成角和二面角一、问题的提出 在必修二的学习中会遇到直线与平面所成角和求二面角时要根据定义把角找正确，找直线和平面所成角时，注意在找斜线在平面内的射影时，不能只说斜线在平面内的射影是哪条线，还要进而证明其正确性，才能说明某个角就是斜线与平面所成的角找二面角时要过棱上一点在两个半平面做垂线.二、问题的探源 求斜线与平面所成角的策略(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角(3)计算：通常在垂线段、
2、斜线和射影所组成的直角三角形中计算解决二面角问题的策略,清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作” 注意算二种角必要的三个步骤都是，一做，二证、三算.三、问题的佐证：考向一：直线与平面所成的角例一、如图，在四棱锥中， 平面， ， ， ， ， ， .（1）求证： 平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由平面，得，由，得，再由，得到平面；（
3、2）过点作的平行线交于点，连结，则与平面所成的角等于与平面所成的角，由平面，得到为直线和平面所成的角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值.所以，直线与平面所成的角的正弦值为【对应训练】已知线段AB的长等于它在平面内射影长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角为正六棱锥底面边长为2，体积为，则侧棱与底面所成的角为( )A. 30 B. 45 C. 60 D. 75【答案】B【解析】正六棱锥的底面边长为2，所以底面积S= ，因为体积为，则棱锥的高，底面顶点到底面中心的距离为2，所以侧棱与底面所成的角为45故选B例2、如图，在几何体中，四边形为菱形，对角线与的交点为，四边形为梯形， .（）若，求证：
4、平面；（）求证：平面平面；（）若， ， ，求与平面所成角.【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析；（III）.【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，证明为平行四边形，可得，利用线面平行的判定定理即可证明平面；（2）先证明， ，可证明平面，从而可证明平面平面；（3）做于为与平面所成角，根据余弦定理及等腰三角形性质即可求与平面所成角.试题解析：（）证明：取的中点，连接， .对角线与的交点为，为平行四边形，平面， 平面，平面；（）证明：四边形为菱形， 是的中点，平面，平面，平面平面；（）作于.平面平面，平面，为与平面所成角，由题意， 为正三角形， ，为正三角形，.中，由余弦定理可得，与平面所
5、成角.【通法】求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算考向二：二面角例3、如图（1），在矩形中， ， 为的中点，将沿折起，使平面平面，如图（2）所示.（1）求证： 平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）由勾股定理可得，再由面面垂直的性质定理可得平面；（2）过作，交于点，
6、可得平面，利用及棱锥的体积公式可得结果；（3）由（2）可知平面，过点作，交的延长线于，连接，则为二面角的平面角，在直角三角形中求出，从而可得结果.试题解析：（1）， ，又平面平面，平面平面平面.（2）过作，交于点，平面【训练】如图，在直三棱柱中， , 是的中点， 是的中点。（1）求异面直线与所成的角；（II）求证 （III）求二面角的正切值.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】试题分析：（1）线线角找平移: 取的中点，则，所以是异面直线与所成的角,再根据余弦定理解得角（2）由三角形相似可得.再根据侧面与底面垂直, 得,即得；根据线面垂直判定定理得, (3) 设是的中点，过点作于，根据线面垂
7、直判定定理以及性质定理可得为二面角平面角,再根据解三角形得二面角的正切值.试题解析：解：（I）取的中点，连，则，所以是异面直线与所成的角。设，则， ，.。在中，.所以异面直线与所成的角为.例4、如图，在三棱锥中，侧面为等边三角形，侧棱.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：(1)设中点为，连结， 由题意可证得就是二面角的平面角. 结合几何关系求得.所以平面平面(2)结合题意建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为. 平面的一个法向量为.利用夹角公式可得二面角的余弦值为.（2）由（1）知，两两垂直. 以为原点建立如图所示的空间直角坐标
8、系.易知，.所以，.设平面的法向量为，则 即 令，则，.所以平面的一个法向量为. 易知平面的一个法向量为.所以. 由图可知，二面角为锐角.所以二面角的余弦值为.【结论】解决二面角问题的策略清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”四、问题的解决一、选择题1.如图所示，若斜线段AB是它在平面上的射影BO的2倍，则AB与平面所成的角是()A60 B45C30 D120【答案】A【解析】选AAB
9、O即是斜线AB与平面所成的角，在RtAOB中，AB2BO，所以cosABO，即ABO60.2过平面外一点A作的两条互相垂直的斜线AB、AC，它们与面所成的角分别为15和75，则的内角B=（ ）A. 75 B. 15 C. 30 D. 60【答案】B【解析】如图，由题意可知， ，且 选B3已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等， 在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意不妨令棱长为，如图在底面内的射影为的中心，故由勾股定理得过作平面，则为与底面所成角，且如图作于中点与底面所成角的正弦值故答案选4已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，
10、 垂直于底面， ， 与底面所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C故选C5在平面四边形中， ， ，且，现将沿着对角线翻折成，则在折起至转到平面内的过程中，直线与平面所成的最大角的正切值为()A. 1 B. C. D. 【答案】C【解析】如图所示， .当与圆相切时，直线与平面所成的角最大，最大角为，其正切值为.故选C.6.在平面四边形中， ，将沿对角线所在的直线折起，使平面平面，则直线与平面所成角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B7如图， 是的直径， 垂直于所在平面， 是圆周上不同于两点的任意一点，且， ，则二面角的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】
11、垂直于所在平面，PCA即为直线与底面所成的角。在ABC中， 是的直径，ACB=90，又， ，AC=1，在RtPAC中， .本题选择C选项. 二、填空题8.在正方体中，直线与平面所成的角的余弦值等于_【答案】B【解析】设正方体的棱长为到面的距离 . 9.在四棱锥中， 平面，底面为矩形， 若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为在四棱锥中， 平面，底面为矩形，由边上有且只有一个点，使得，可得边上有且只有一个点，使得，则以 为直径的圆与直线 相切，设中点为 ，则 ，可得 平面 ，作 于 ，连接 ，则 是二面角的平面角，设 ,则 ，直角三角形
12、 中，可得 ， ，二面角的余弦值为，故选A.10设点是棱长为2的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】A三、解答题11. . 【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：传统方法求二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出二面角的平面角，本题利用底面为正方形，三角形AEC为等腰三角形的特点做出二面角，进而求出，求线面角既可作出后再求，还可直接求出点B到平面的距离，再利用直角三角形的边角关系求出正弦值.试题解析： (1)连接与交于点，易得，即二面角的平面角为,- 在中， , (2)在交,取，- 因此 - .12.如图，在几何体中， 平面， 平面， ， ，又， （1）求 与平面所成角的正弦值；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用公式即可；（2）利用坐标，求两个半平面所在平面的法向量，根据公式求解即可.试题解析：(1)如图，过点 作的垂线交于，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系.，又，则点到轴的距离为1，到轴的距离为则有， ， ， ， .（1）设平面的法向量为， 则有，取，得，又，设与平面所成角为，则，故 与平面所成角的正弦值为.17