《2013年高考真题解析分类汇编（理科数学）7：立体几何.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013年高考真题解析分类汇编（理科数学）7：立体几何.doc（47页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 2013 高考试题解析分类汇编（理数）高考试题解析分类汇编（理数）7：立体几何：立体几何 一、选择题 1. （2013 年高考新课标 1（理） ）如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如 果不计容器的厚度,则球的体积为 （） ABCD 3 500 3 cm 3 866 3 cm 3 1372 3 cm 3 2048 3 cm A 设正方体上底面所在平面截球得小圆 M， 则圆心 M 为正方体上底面正方形的中心如图 设球的半径为 R，根
2、据题意得球心到上底面的距离等于（R2）cm，而圆 M 的半径为 4， 由球的截面圆性质，得 R2=（R2）2+42， 解出 R=5， 所以根据球的体积公式，该球的体积 V= 故选 A 2. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版） ）设是 ,m n 两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （） , A若,则B若,则 m n mn / m n /mn C若,则D若,则 mnm n m/mn /n D D；ABC 是典型错误命题,选 D 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 3. （2013 年普通高等学校招生统一考试大
3、纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）已知正 四棱柱中,则与平面所成角的正弦值等于（） 1111 ABCDABC D 1 2AAABCD 1 BDC ABCD 2 3 3 3 2 3 1 3 A 设 AB=1，则 AA1=2，分别以的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建 立空间直角坐标系， 如下图所示： 则 D（0，0，2） ，C1（0，1，0） ，B（1，1，2） ，C（0，1，2） ， =（1，1，0） ，=（0，1，2） ，=（0，1，0） ， 设 =（x，y，z）为平面 BDC1的一个法向量，则，即，取 =（2，2，1） ， 设 CD 与平面 BDC1所成角为 ，则 sin
4、=|= ， 故选 A 4. （2013 年高考新课标 1（理） ）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ （） ABCD1688816 168 16 A 三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分 别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为 2，母线长为 4 所以长方体的体积=422=16， 半个圆柱的体积= 224=8 所以这个几何体的体积是 16+8； 故选 A 5. （2013 年高考湖北卷（理） ）一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简 单几何体组成,其体积分别记为,上
5、面两个简单几何体均为旋转体,下面 1 V 2 V 3 V 4 V 两个简单几何体均为多面体,则有（） AB 1243 VVVV 1324 VVVV CD 2134 VVVV 2314 VVVV 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ C 本题考查三视图以及空间几何体的体积。从上到下为圆台，圆柱，棱柱，棱台体积依次为 ，所 3 7 ) 1212( 3 1 22 1 V,2 2 V823 3 V. 3 28 )416416( 3 1 4 V 以，故选 C. 4312 VVVV 6. （2013 年高考湖南卷（理） ）已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方
6、形, 则该正方体的正视图的面积不可能等于（） A BCD 12 2-1 2 2+1 2 C 本题考查三视图的判断。因为正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则说明正方体为 水平放置，则正视图的最大面积为正方体对角面，此时面积为，最小面积为正方体的2 一个侧面，面积为 1，所以侧视图的面积,所以面积不可能的是，选 C.12S 21 2 7. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版） ）某四棱台的三 视图如图所示,则该四棱台的体积是 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ （） 1 2 2 1 1 正视图 俯视图 侧视图 第第 5
7、5 题图题图 ABCD 4 14 3 16 36 B 由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为 和的正方形,高为,故,故选 B 122 2222 114 11222 33 V 8. （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯 WORD 版含答案） ）已知 nm,为异面直线,m平面,n平面.直线l满足,则（）,lm ln ll A/,且/lB,且l C与相交,且交线垂直于lD与相交,且交线平行于l D 由 m平面 ，直线 l 满足 lm，且 l，所以 l， 又 n平面 ，ln，l，所以 l 由直线 m，n 为异面直线，且 m平面 ，n平面 ，则 与 相交，否则，若 则推出
8、mn，与 m，n 异面矛盾故 与 相交，且交线平行于 l故选 D 9. （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案） ）已知三棱柱 111 ABCABC 的侧棱与底面垂直,体积为 9 4,底面是边长为 3 的正三角形.若P为底 面 111 ABC 的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为（） A 5 12 B3 C4 D6 B 取正三角形 ABC 的中心，连结,则是 PA 与平面 ABC 所成的角。因为底面边长为OPPAO 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ ，所以,.三棱柱的体积为3 33 3 22 AD 223 1 332 AOAD ,解
9、得，即,所以 2 1 139 ( 3) 224 AA 1 3AA 1 3OPAA ，即，选 B. tan3 OP PAO OA 3 PAO 10. （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案） ）某几何体的三视图 如题 5图所示,则该几何体的体积为（） A 560 3 B 580 3 C200D240 C 【命题立意】本题考查三视图以及空间几何体的体积公式。由三视图可知该几何体是个四 棱柱。棱柱的底面为等腰梯形，高为 10.等腰梯形的上底为 2，下底为 8，高为 4,。所以梯 形的面积为，所以四棱柱的体积为，选 C. 28 420 2 20 10200 11. （2013
10、 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）已知三棱柱 的 6 个顶点都在球的球面上,若, 111 ABCABCO34ABAC，ABAC ,则球的半径为（） 1 12AA O ABCD 3 17 2 2 10 13 2 3 10 C 由球心作面 ABC 的垂线，则垂足为 BC 中点 M。计算 AM=，由垂径定理，OM=6，所以半径 5 2 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ R=,选 C. 22 513 ( )6 22 12. （2013 年高考江西卷（理） ）如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且 ,正方体的六个面所在的平面与直
11、线 CE,EF 相交的平面个数分别记为,那AB CDA,m n 么mn （） A8B9C10D11 A 本题考查空间立体几何中的线面位置关系的判断。由图象可知，其中上底面与4m CE 平行，下底面过直线 CE。在正四面体题中，取 CD 的中点 H,则,又CDEFH AB/CD，所以平面平行于正方体的左右两个侧面，所以直线 EF 与正方体的六个EFH 面所在的平面相交的平面个数。所以，选 A.4n 8mn 13. （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯 WORD 版含答案） ）一个四 面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1
12、,1),(0,0,0),画该四面 体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为 （） ABCD A 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是（1，0，1） ， （1，1，0） ， （0，1，1） ， （0，0，0） ，几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体， 所以以 zOx 平面为投影面，则得到正视图为： 故选 A 14. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版） ）在下列命题中, 不是公理的是（） A平行于同一个平面的两个平面相互平行
13、B过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 A B,C,D 说法均不需证明，也无法证明，是公理；A 选项可以推导证明，故是定理。 所以选 A 15. （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版） ）在空间中,过点 作平面的垂线,垂足为,记.设是两个不同的平面,对空间任意一AB)(AfB , 点,恒有,则（）P)(),( 21 PffQPffQ 21 PQPQ A平面与平面垂直B平面与平面所成的(锐)二面角为 0 4
14、5 C平面与平面平行D平面与平面所成的(锐)二面角为 0 60 A ：设 P1=f（P） ，则根据题意，得点 P1是过点 P 作平面 垂线的垂足 因为 Q1=ff（P）=f（P1） ， 所以点 Q1是过点 P1作平面 垂线的垂足 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 同理，若 P2=f（P） ，得点 P2是过点 P 作平面 垂线的垂足 因此 Q2=ff（P）表示点 Q2是过点 P2作平面 垂线的垂足 因为对任意的点 P，恒有 PQ1=PQ2， 所以点 Q1与 Q2重合于同一点 由此可得，四边形 PP1Q1P2为矩形，且P1Q1P2是二面角 l 的平面角 因为P1Q1
15、P2是直角，所以平面 与平面 垂直 故选：A 16. （2013 年高考四川卷（理） ）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是 D 由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项 A 和选项 C 而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除 B故选 D 二、填空题 17. （2013 年高考上海卷（理） ）在平面上,将两个半圆弧和xOy 22 (1)1(1)xyx 、两条直线 和围成的封闭图形记为 D,如图中阴 22 (3)1(3)xyx1y 1y 影部分.记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为,过作的水平截面,所(0, )(| 1)yy 得截面面积为,试利用祖暅原理、一个平放的
16、圆柱和一个长方体,得出 2 418y 的体积值为_ 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ . 2 216 【解答】根据提示，一个半径为 1，高为的圆柱平放，一个高为 2，底面面积的长28 方体，这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等， 故它们的体积相等，即的体积值为 22 122 8216 18. （2013 年高考陕西卷（理） ）某几何体的三视图如图所示, 则其体积为_. 3 11 2 1 3 【KS5U 解析】立体图为半个圆锥体，底面是半径为 1 的半圆，高为 2。所以体积 3 21 2 1 3 1 2 V 19. （2013 年普
17、通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）已知圆 和圆是球的大圆和小圆,其公共弦长等于球的半径,且圆与圆OKOO 3 2 OK O 所在的平面所成的一个二面角为,则球的表面积等于_.K60O 16 如图所示，设球 O 的半径为 r，根据题意得 OC=，CK= 在OCK 中，OC2=OK2+CK2，即 所以 r2=4 所以球 O 的表面积等于 4r2=16 故答案为 16 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 20. （2013 年高考北京卷（理） ）如图,在棱长为 2 的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点 P在线段D1
18、E上,点P到直线CC1的距离的最小值为_. 1 D 1 B P A D 1 C C E B A 1 A 2 5 5 如图所示，取 B1C1的中点 F，连接 EF，ED1， 因为，CC1底面 ABCD，所以四边形 EFC1C 是矩形 所以 CC1EF， 又 EF平面 D1EF，CC1平面 D1EF，所以 CC1平面 D1EF 所以直线 C1C 上任一点到平面 D1EF 的距离是两条异面直线 D1E 与 CC1的距离 过点 C1作 C1MD1F， 因为平面 D1EF平面 A1B1C1D1 所以 C1M平面 D1EF 过点 M 作 MPEF 交 D1E 于点 P，则 MPC1C 取 C1N=MP，连
19、接 PN，则四边形 MPNC1是矩形 可得 NP平面 D1EF， 在 RtD1C1F 中，C1MD1F=D1C1C1F，得= 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 所以点 P 到直线 CC1的距离的最小值为 21. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）如图,在三棱柱中,分别是的中点,设三ABCCBA 111 FED， 1 AAACAB， 棱锥的体积为,三棱柱的体积为,则ADEF 1 VABCCBA 1112 V _. 21:V V A B C 1 A D E F 1 B 1 C 1:24 1122 11
20、111 334224 ADEABC VShShV 所以 12 1 : 24 V V 22. （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版） ）若某几何体的 三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于_. 2 cm 4 3 2 3 3 正视图 侧视图 俯视图 （第 12 题图） 24 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ ：几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为 3，4， 棱柱的高为 5，被截取的棱锥的高为 3如图： V=V棱柱V三棱锥=3=24（cm3） 故答案为：24 23. （2013 年普通
21、高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版） ）如图,正方体 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段上的动点,过点 A,P,Q 的 1111 ABCDABC D 1 CC 平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是_(写出所有正确 命题的编号). 当时,S 为四边形;当时,S 为等腰梯形;当时,S 与 1 0 2 CQ 1 2 CQ 3 4 CQ 的交点 R 满足;当时,S 为六边形;当时,S 的面 11 C D 11 1 3 C R 3 1 4 CQ1CQ 积为. 6 2 .CQDTPQATPQATTDD22/ 1 且，则相交于设截面与 对，,则所以截面S为四
22、边形，且S为梯形.所以为真.时当 2 1 0. CQ . 1 0 DT 对, ，截面S为四边形截面1 = DT , 2 1 .时当CQ重合与 1 ,DT., 11 QDAPAPQD所以 S为等腰梯形. 所以为真. 对, 所时当 4 3 .CQ. 3 1 . 2 1 , 2 3 , 4 1 1111 RCTDDTQC利用三角形相似解得 以为真. 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 对, .截面S与线段相交，所以四边形S为五边2 DT 2 3 ,1 4 3 .时当CQ 1111 CD,DA 形.所以为假. 对, .对角AGAPCGDASCCQ 111111 ,Q1.即
23、为菱形相交于中点与线段截面重合与时，当 线长度分别为 所以为真. 2 6 32的面积为，和S 综上，选 24. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）某几何体的三视图 如图所示,则该几何体的体积是_. 1616 由三视图可知该几何体圆柱中去除正四棱柱。 所以该几何体的体积。V 22 24241616 25. （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版） ）已知某一多面 体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中 的四边形是边长为 2 的正方形,则该球的表面积是_ 12 由图可知，图形为一个
24、球中间是内接一个棱长为 2 的正方体， 2 2 3 2 3412 2 RSR 球表 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 三、解答题 26. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）如图,AB 是圆的直 径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (I)求证:PACPBC平面平面； (II)2.ABACPACPBA若，1，1，求证：二面角的余弦值 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 27. （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数
25、学（理）试题（含答案） ）如图,四棱锥 PABCD中,PAABCD 底面,2,4, 3 BCCDACACBACD , F为PC的中点,AFPB. (1)求PA的长; (2)求二面角BAFD的正弦值. 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 28. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版） ）如图,圆锥顶点 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 为.底面圆心为,其母线与底面所成的角为 22.5.和是底面圆上的两poABCDO 条平行的弦,轴与平面所成的角为 60.OPPCD ()证明:平面与平面的交线平行于
26、底面; ()求.PABPCDcosCOD 解: () PABP D,/ / /CmABCDCDPCDABPCD设面面直线且面面 . / /ABm直线ABCDmABCDAB面直线面/ 所以,. ABCDDPPAB的公共交线平行底面与面面C () . r PO OPFFCDr 5 . 22tan.60,由题知，则的中点为线段设底面半径为 . 5 . 22tan1 5 . 22tan2 45tan, 2 cos 5 . 22tan60tan60tan, 2 COD r OF PO OF )223(3), 1-2(3 2 1cos , 1-2 5 . 22tan1 2 cos2cos 22 CODCO
27、D COD . 212-17cos. 212-17cosCODCOD所以 法二: 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 29. （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版） ）如图,在四面体 中,平面,.是的中点, BCDAADBCD22, 2,BDADCDBCMADP 是的中点,点在线段上,且.BMQACQCAQ3 (1)证明:平面;(2)若二面角的大小为,求的大小./PQBCDDBMC 0 60BDC A B C D P Q M （第 20 题图） 解:证明()方法一:如图 6,取的中点,且是中点,所以.因MDFMAD3AFFD
28、为是中点,所以;又因为()且,所以PBM/ /PFBD3AQQC3AFFD ,所以面面,且面,所以面; / /QFBD/ /PQFBDCPQ BDC/ /PQBDC 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 方法二:如图 7 所示,取中点,且是中点,所以;取的三BDOPBM 1 / / 2 POMDCD 等分点,使,且,所以,所以H3DHCH3AQQC 11 / / / 42 QHADMD ,且,所以面; / / /POQHPQOHOHBCD/ /PQBDC ()如图 8 所示,由已知得到面面,过作于,所以ADB BDCCCGBDG ,过作于,连接,所以就是的CGBMD
29、GGHBMHCHCHGCBMD 二面角;由已知得到,设,所以 813BM BDC , cos ,sin2 2cos ,2 2cossin,2 2sin, CDCGCB CDCGBC BDCDBD 在中,所以在RT BCG 2 sin2 2sin BG BCGBG BC 中, ,所以在中 RT BHG 2 2 12 2sin 33 2 2sin HG HG RT CHG 2 2 2cossin tantan603 2 2sin 3 CG CHG HG ; tan3(0,90 )6060BDC 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 30. （2013 年上海市春季高考数
30、学试卷(含答案)）如图,在正三棱锥中, 111 ABCABC ,异面直线与所成角的大小为,求该三棱柱的体积. 1 6AA 1 BC 1 AA 6 B1 A1 C1 AC B 解因为 . 1 CC 1 AA 所以为异面直线与.所成的角,即=. 1 BC C 1 BC 1 AA 1 BC C 6 在 Rt中, 1 BC C 11 3 tan62 3 3 BCCCBC C 从而, 2 3 3 3 4 ABC SBC 因此该三棱柱的体积为. 1 3 3 618 3 ABC VSAA 31. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）本小题满分
31、14 分. 如图,在三棱锥中,平面平面,过作ABCS SABSBCBCAB ABAS A ,垂足为,点分别是棱的中点.SBAF FGE，SCSA， 求证:(1)平面平面; (2)./EFGABCSABC A B C S G F E 证明:(1),F 分别是 SB 的中点 ABAS SBAF E.F 分别是 SA.SB 的中点 EFAB 又EF平面 ABC, AB平面 ABC EF平面 ABC 同理:FG平面 ABC 又EFFG=F, EF.FG平面 ABC平面平面 /EFGABC (2)平面平面 SABSBC 平面平面=BC SABSBC 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，
32、侵权必究！ AF平面 SAB AFSB AF平面 SBC 又BC平面 SBC AFBC 又, ABAF=A, AB.AF平面 SAB BC平面 SAB 又SA平面BCAB SABBCSA 32. （2013 年高考上海卷（理） ）如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直 线 BC1平行于平面 DA1C,并求直线 BC1到平面 D1AC 的距离. D1 C1 B1 A1 D C B A 因为 ABCD-A1B1C1D1为长方体,故, 1111 /,ABC D ABC D 故 ABC1D1为平行四边形,故,显然 B 不在平面 D1AC 上,于是直线 BC
33、1平行于 11 /BCAD 平面 DA1C; 直线 BC1到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平面 D1AC 的距离设为 h 考虑三棱锥 ABCD1的体积,以 ABC 为底面,可得 111 (1 2) 1 323 V 而中,故 1 ADC 11 5,2ACDCAD 1 3 2 AD C S 所以,即直线 BC1到平面 D1AC 的距离为. 1312 3233 Vhh 2 3 33. （2013 年高考湖北卷（理） ）如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,直ABOCO,A B 线平面,分别是,的中点.PC ABCEFPAPC (I)记平面与平面的交线为 ,试判断直线 与平面的位置关系,并加BEF
34、ABCllPAC 以证明; (II)设(I)中的直线 与圆的另一个交点为,且点满足.记直线lODQ 1 2 DQCP 与平面所成的角为,异面直线与所成的角为,二面角PQABCPQEF 的大小为,求证:.ElC sinsinsin 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 第 19 题图 解:(I), EFACAACABC 平面EFABC 平面 EFABCA平面 又 EFBEF 平面 EFlA lPAC A平面 (II)连接 DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很 麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何
35、的 处理方向有很大的偏差.) 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 34. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版） ）如图 1,在等腰 直角三角形中,分别是上的点,ABC90A6BC ,D E,AC AB2CDBE 为的中点.将沿折起,得到如图 2 所示的四棱锥,其中OBCADEDEABCDE .3A O () 证明:平面; () 求二面角的平面角的余弦值.A OBCDEACDB . C O B DE A C D O B E A 图 1图 2 () 在图 1 中,
36、易得 3,3 2,2 2OCACAD 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ C D O x E A 向量法图向量法图 y z B C D O B E A H 连结,在中,由余弦定理可得 ,OD OEOCD 22 2cos455ODOCCDOC CD 由翻折不变性可知, 2 2A D 所以,所以, 222 A OODA DA OOD 理可证, 又,所以平面. A OOEODOEOA OBCDE () 传统法:过作交的延长线于,连结, OOHCDCDHA H 因为平面,所以, A OBCDEA HCD 所以为二面角的平面角. A HOACDB 结合图 1 可知,为中点,
37、故,从而 HAC 3 2 2 OH 22 30 2 A HOHOA 所以,所以二面角 15 cos 5 OH A HO A H 的平面角的余弦值为. ACDB 15 5 向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示, OOxyz 则, 0,0, 3 A 0, 3,0C1, 2,0D 所以, 0,3, 3CA 1,2, 3DA 设为平面的法向量,则 , ,nx y z A CD ,即,解得,令,得 0 0 n CA n DA 330 230 yz xyz 3 yx zx 1x 1, 1, 3n 由() 知,为平面的一个法向量, 0,0, 3OA CDB 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资
38、源网版权所有，侵权必究！ 所以,即二面角的平面角的余弦 315 cos, 535 n OA n OA n OA ACDB 值为. 15 5 35. （2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案） ）如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱A1A底面ABCD, AB/DC, ABAD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点. () 证明B1C1CE; () 求二面角B1-CE-C1的正弦值. () 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为, 求线段 2 6 AM的长. 高考资源网（） 您身边的高考专家
39、 高考资源网版权所有，侵权必究！ 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 36. （2013 年高考新课标 1（理） ）如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,BA A1=60. ()证明 ABA1C; ()若平面 ABC平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值. 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ ()取 AB 中点 E,连结 CE, 1 AB, 1 AE, AB= 1 AA, 1 BAA= 0 60, 1 BAA是正三角形, 1 AEAB, CA=CB, CEA
40、B, 1 CEAE=E,AB面 1 CEA, AB 1 AC; ()由()知 ECAB, 1 EAAB, 又面 ABC面 11 ABB A,面 ABC面 11 ABB A=AB,EC面 11 ABB A,EC 1 EA, EA,EC, 1 EA两两相互垂直,以 E 为坐标原点,EA 的方向为x轴正方向,|EA |为单位 长度,建立如图所示空间直角坐标系Oxyz, 有题设知 A(1,0,0), 1 A(0,3,0),C(0,0,3),B(-1,0,0),则BC =(1,0,3), 1 BB = 1 AA =(-1,0,3), 1 AC =(0,-3,3), 设n=( , , )x y z是平面
41、11 CBBC的法向量, 则 1 0 0 BC BB n n ,即 30 30 xz xy ,可取n=(3,1,-1), 1 cos, AC n= 1 1 | AC AC n |n| 10 5 , 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 10 5 37. （2013 年高考陕西卷（理） ）如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底 面中心, A1O平面ABCD, . 1 2ABAA () 证明: A1C平面BB1D1D; () 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小. O D1
42、B1 C1 D A C B A1 解:() ;又因为,在正方形 AB BDOAABCDBDABCDOA 11 ,面且面 CD 中, . BDCAACACAACABDAACOABDAC 11111 ,，故面且面所以；且 在正方形 AB CD 中,AO = 1 . . 1 11 OAOAART中，在 . OECAOCEAEDB 1111111 为正方形，所以，则四边形的中点为设 ，所以由以上三点得且，面面又OOBDDDBBODDBBBD 111111 E.E, .(证毕) DDBBCA 111 面 () 建立直角坐标系统,使用向量解题. 以 O 为原点,以 OC 为 X 轴正方向,以 OB 为 Y
43、 轴正方向.则 . ) 1, 0 , 1 () 1 , 1 , 1 (),100(),001 (,0 , 1 , 0 111 CABACB，）（ 由()知, 平面BB1D1D的一个法向量 .0 , 0 , 1),1 , 1 , 1 (),1, 0 , 1 ( 111 ）（OCOBCAn 设平面OCB1的法向量为 ，则0, 0, 2122 OCnOBnn ).1- , 1 , 0(向向向 2 n为解得其中一个 . 2 1 22 1 | | |,cos|cos 21 21 11 nn nn nn O D1 B1 C1 D A C B A1 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权
44、必究！ 所以,平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为 3 38. （2013 年高考江西卷（理） ）如图,四棱锥中,PABCDPA ,ABCD EBD 平面为的中点GPD为的中点， ,连接并延长交于. 3 ,1 2 DABDCB EAEBABPA ，CEADF (1) 求证:;ADCFG 平面 (2) 求平面与平面的夹角的余弦值.BCPDCP 解:(1)在中,因为是的中点,所以, ABDEBD1EAEBEDAB 故, , 23 BADABEAEB 因为,所以, DABDCB EABECB 从而有, FEDFEA 故,又因为所以. ,EFAD AFFD,PGGDFGPA 又平面, PAABCD
45、所以故平面. ,GFADAD CFG (3) 以点为坐标原点建立如图所示的坐标系,则A , 33 (0,0,0), (1,0,0),( ,0),(0, 3,0) 22 ABCD 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ (4) ,故 3 (0,0, ) 2 P 1333 333 (0),(, ),(,0) 2222222 BCCPCD ， 设平面的法向量,则 , BCP 111 (1,)ny z 1 11 13 0 22 333 0 222 y yz 解得,即. 1 1 3 3 2 3 y z 1 3 2 (1, ) 33 n 设平面的法向量,则,解得, DCP 222
46、 (1,)nyz 2 22 33 0 22 333 0 222 y yz 2 2 3 2 y z 即.从而平面与平面的夹角的余弦值为 2 (1, 3,2)n BCPDCP . 12 12 4 2 3 cos 416 8 9 n n n n 39. （2013 年高考四川卷（理） ）如图,在三棱柱中,侧棱底面, 11 ABCABC 1 AA ABC ,分别是线段的中点,是线段 1 2ABACAA120BAC 1 ,D D 11 ,BC BCP 的中点.AD ()在平面内,试作出过点与平面平行的直线 ,说明理由,并证明直线ABCP 1 ABCl 高考资源网（） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！ 平面;l 11 ADD A ()设()中的直线 交于点,交于点,求二面角的余弦lABMACN 1 AAMN 值. D1 D C B A1 B1