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1、中原名校 20122013学年第一学期期中联考高二理科数学试卷（考试时间： 120分钟试卷满分： 150分）第卷一、选择题（本大题共12小题，每小题 5分，满分 60分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1下列结论中，错误的是（）xya214A x, y 均为正数，则 y2B a 为正数，则()(a)x2aalg x12x 22lg xx22C其中 x 1D12若数列an是等比数列，则下列命题正确的个数是（） a2， a2n是等比数列lgan 是等差数列n1， an 是等比数列 can ， ank (k0) 是等比数列。 anA 4B 3C 2D 13三角形的两边长分别为 5
2、和 3，它们夹角的余弦是方程5x27x6 0 的根，则三角形的另一边长为（）A 52B 2 13C 16D 4x2x64不等式x 10( )的解集为A x | x2或 x 3B x | x2或1 x 3C x | 2 x 1或1 x 3D x | 2 x 1或 x 31,5, 15等差数列 a n 中，前三项依次为 x16xx ，则 a101 =( )50113 2A 3B 3C 24D8 236在 ABC 中，三个内角A, B, C 所对的边为 a,b, c ，且 b2a2ac c2 ,CA90则 cos AcosC（）用心爱心专心11122A 4B 4C 4D 4a,b, c 分别是三内角
3、A, B,C 的对边 , 设 Bb7锐角ABC 中 ,2 A , 则 a 的取值范围（）A2,2B 0,2C2,2D2,38观察下列各式：a b1, a2b23， a3b34， a4b47, a5b511,则 a10b10（）A 28B 76C 123D 1999在 ABC 中 , a,b,c 分别是三内角A, B, C 的对边 ,S为 ABC 的面积。若向量p (4, a2b2c2 ) ，q ( 3, S) 满足 p / q , 则 C=（）2A 3 .B 6C 4D 310已知ABC 的三边长成公差为形的周长是A 18B 21x2ax 1111已知函数f ( x)x 132 的等差数列，且
4、最大角的正弦值为2 ，则这个三角（）C 24D 15(a R )x*, f ( x) 3 恒成立，则 a，若对于任意的N的8最小值等于（） AB -3C 4 2 3D -6a1sn*)s1s2s3sn1, an2( n 1),( n N23n12设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,n, 若( n 1)22013 ，则 n 的值为（）A 1007B 1006C 2012D 20133第卷二、填空题（本大题共4小题，每小题 5分，共 20分 . 将答案填在答题卷相应位置上. ）用心爱心专心2B, AC1， AB=3，则 BC的长度为13在 ABC 中，6.x, y0,xy1,14设 x, y
5、满足约束条件：xy3, 则 zx2 y 的取值范围为.15已知 x 0, y2 y8xm22m0 ，若 xy恒成立，则实数 m 的取值范围是.1f ( x)an 满足 an 2f (an ) , 若 a2011a2013 ,16已知函数x 1 , 各项均为正数的数列则 a1.三、解答题（本大题共 6小题，满分 70分 . 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ）17 （ 本 小 题 10分 ） 在 ABC 中 ,a,b, c 分 别 是 三 内 角 A, B, C 的 对 边 , 已 知ABC 的 面 积S3, a 23, b2 ，求第三边 c 的大小 .18（本小题 12分）数列an 对
6、任意 nN * ，满足 an+ 1 = an + 1,a3 = 2 .（ 1）求数列 an的通项公式；1annbnbn 的前 n 项和 Sn .（ 2）若3，求数列19 （ 本 小 题 12 分 ） 在ABC 中 ， 角 A, B, C的 对 边 分 别 是 a,b,c， 点 (a,b)在 直 线x(sin A sin B) ysin Bc sin C 上，（ 1）求角 C 的值；（ 2）若 a2 b2 6( a b) 18 0 ，求 ABC 的面积 .20（本小题 12分）某公司今年年初用25万元引进一种新的设备, 投入设备后每年收益为21万元 . 该公司第 n 年需要付出设备的维修与工人工
7、资等费用总和an 的信息如下图 .（ 1）求 an ；用心爱心专心3（ 2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；（ 3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？21（本小题 12分）设数列 an 满足 an2an 1 1 n 2, 且 a11,bn log 2 (an 1).（ 1）求数列 an 的通项公式；13Sn（ 2）设数列4 .bnbn 2 的前 n 项和为 Sn ，证明 :22（本小题 12分）设 C1 , C2 ,C n ,是坐标平面上的一系列圆，它们的圆心都在x 轴的y3 x相切，对每一个正整数 n ，圆 Cn 都与圆 C n 1 相互外切， 以 rn 表示 Cn正半轴上
8、， 且都与直线3的半径，已知 rn 为递增数列 .（ 1）证明： rn 为等比数列；n（ 2）设 r11，求数列rn 的前 n 项和 .中原名校 2012-2013 学年第一学期期中联考高二理科数学试题参考答案一、选择题：BCBDDBDCADAA5 +1二、填空题： 13. 1或 2 ；14. 3,3 ； 15.(- 4,2) ； 16.2用心爱心专心4三、解答 ：S ABC1 ab sin C312 3 2sin Csin C1 4分17.222C 或 5又C （ 0， ）666 分（ 1）当 C6 ， c=a2b22bc cosC28分(2) 当 C5a2b26 ， c=2bc cosc2
9、710分18. 解： （ 1）由已知得，故数列是等差数列，且公差.分又，得，所以.分（ 2）由（）得，所以.6分.12分19. 解：（ 1）由 得 asin A sin Bb sin Bc sin C ，abc2c2由正弦定理 sin Asin Bsin C ，得 aabb，即 a2b2c2ab . 3分cosCa2b2c21C又由余弦定理得2ab2，C （ 0， ）3 . 6分得（ 2）由 a2b26( ab)180 ，得 (a3)2(b3)20 ，从而 ab3. 9分S1 ab sin C132sin93所以 ABC 的面 2234. 12分20解：（ 1）由 意知，每年的 用是以2 首
10、， 2 公差的等差数列，求得：用心爱心专心52分（ 2） 收入与年数n的关系 f(n), ：4分由 f(n)0 得n2-20n+250解得又因 n, 所以 n=2,3,4, 18. 即从第 2年 公司开始 利8分（ 3）年平均收入 =20-10分当 且 仅 当 n=5 时 ， 年 平 均 收 益 最 大 . 所 以 这 种 设 备 使 用 5 年 ， 该 公 司 的 年 平 均 获 利 最 大 。 12分21解：（ 1） 明：因 an 2an 11 n2 ，所以 an1 2 an 1 1 ( n 2) .所以数列 an1 是公比 2的等比数列 .4分（ 2）因 数列 an1 是首 a112 ，
11、公比 2的等比数列，所以an 12 2n 12nbnlog2 an 1 n. 所以11111所以 bnbn 2n n 2 2n n 2 .6分8分Sn111111111111112122 42 3 52n 1 n 12 n n 2所以311113111） 31= 4（22n 1n22n1n 24 12分将直 y=3 x的 斜角 tan=3 ,sin= 122解：（ I ）3， 有32设 Cn的 心 （n， 0）， 由 意知rn1, 得 n =2 rnn2 2分同理n+1 =2rn +1，从而 n+1 = n +rn +rn+1 =2 rn+1将 n =2rn代入，解得 rn+1 =3 rn ,故|rn| 公比 q=3的等比数列 6分由于 r1=1， q=3，故 rn =3n 1从而n=n 31 n（ II ）rn，用心爱心专心6记 Sn = 1 + 2 + n ，则有Sn =1+212+1nr1r2rn3+3 3+n 3sn =1 31 +2 32 +(n 1) 31n +n 3n3 8分2sn=1+31 2+1 nn1 3 nn33n3+3+3 n 32 n 3=(n) 322，得3Sn = 9 1 (n3) 31n9 (2 n 3) 31 n12分4224用心爱心专心7