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1、第 10 章不等式（数学湘教版必修4）建议用时实际用时满分实际得分90 分钟150 分一、选择题 （本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 不等式（ x+3） 2-2B.x|x-4C.x|-4xsB.t sC.tsD.t sx 0,3. 不等式组 x 3y 4, 所表示的平面区域的面积3xy4等于（）3243A.B.C.D.23344. 已知函数f （ x）=log 2（ x+1）且 a b c 0，则f (a) 、 f (b) 、 f (c) 的大小关系是（）abcA. f (a) f (b) f (c)abcB. f (c
2、) f (b) f (a)cbaC. f (b) f (a) f (c)bacD. f (a) f (c) f (b)acb5. 已知不等式（ x+y） 9 对任意正实数 x， y 恒成立，则正实数a 的最小值为（）A.2B.4C.6D.86. 满足不等式 y2 -x 2 0 的点（ x，y）的集合（用阴影表示）是（）7. 已知函数x1, x则不等式 x+f （ x） =1,xx0,（ x+1） f （ x+1） 1 的解集是（）A.x|-1 x 2 -1B.x|x 1C.x|x2 -1D.x|-2 -1 x 2 -18. 设 M=，且 a+b+c=1（ a、 b、 c R+），则 M的取值范
3、围是（）A. B.C. 1， 8）D. 8， +）9. 对于满足等式x2+（ y-1 ） 2=1 的一切实数 x、 y，不等式x+y+c 0 恒成立， 则实数c 的取值范围是（）A. （ - ， 0B. 2，+）C. 2-1 ， +）D. 1-2 ， +）10. 如果正数a，b，c，d 满足 a+b=cd=4，那么（）- 1 -A.ab c+d，且等号成立时a， b， c，d 的取值唯一B.ab c+d，且等号成立时a， b， c，d 的取值唯一C.ab c+d ， 且 等 号 成 立 时a ， b ， c ， d 的取 值 不 唯 一D.ab c+d ， 且 等 号 成 立 时a ， b ，
4、 c ， d 的取 值 不 唯 一二、填空题 （本大题共2 小题，每小题5 分，共 10分 . 把答案填在题中横线上）11. 不等式 2x2 2x 4 1的解集为.212. 函数 y= a1 x （a 0，a 1）的图像恒过定点 A，若点 A 在直线 mx+ny-1=0（mn 0）上，则 1+1 的mn最小值为.三、解答题 （解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共 90 分）13. （ 15分）如图，要设计一张矩形广告，该广告15. （ 20 分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人分），这两栏目的面积之
5、和为18 000 cm2，四周空白打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5项目可能的最大盈利率分别为100%和 50%，可能的cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位:cm）能使最大亏损率分别为30%和 10%，投资人计划投资金矩形广告的面积最小 ?额不超过 10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元，则投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元才能使可能的盈利最大？2214. （ 15 分）不等式（m-2m-3 ） x - （ m-3） x-10- 2 -1（ 3）设 bn=f (n)，数列 b n 的前 n 项和为 Sn，求4n16.
6、 （ 24 分）已知二次函数f （ x）满足 f （ -2 ）=0，证： Sn.3(n3)2且 2x f （x） x4 对一切实数 x 都成立 .2（ 1）求 f （ 2）的值；（ 2）求 f （ x）的解析式；- 3 -17. （ 16 分）某村计划建造一个室内面积为72 m2的矩形蔬菜温室 . 在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地 . 当矩形温室的边长各为多少时蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？第 10章不等式（数学湘教版必修4）答题纸得分：一、选择题题号12345678910答案二、填空题1112三、计算题1314.15.16.-
7、 4 -17.第 10 章 不等式（数学湘教版必修4）参考答案一、选择题1.C解析： 原不等式可化为x2+6x+80，解得 -4x-2.2.D解析： t-s=a+2b-a-b2-1 =- （ b-1 ） 2 0， t s.3.C解析： 不等式组表示的平面区域如图所示，x3 y4,由得交点 A 的坐标为（ 1， 1），3xy4又 B， C 两点的坐标分别为（0， 4），故 SABC= 1 1= 4 .234.B解析： 特殊值法 . 令 a=7，b=3， c=1，满足 a b c0， log2 (11) log2 (31) log2 (71) .1375.B解析： 不等式（ x+y ） 9 对任意
8、正实数x，y 恒成立，则 1+a+ yax a+2 a +1 9 ，a 2或 a -4 （舍去），x y 正实数 a 的最小值为 4.6.B解析： 取测试点（ 0， 1）可知 C，D 错；再取测试点（0， -1 ）可知 A 错，故选 B.7.C解析： 依题意得x10,或x1 0,，x( x1)(x)1x( x1)x 1所以x1,或x1,x -1 或 -1 x 2 -1x 2 -1 ，选 C.2 1x21xR8.D解析： M=bc ac ab 8abbcac =8.abcabc9.C解析： 令 x= cos， y=1+ sin，则 - （ x+y）=- sin-cos-1=-2 sin-1.-
9、5 - - （ x+y） max=2 -1. x+y+c 0 恒成立， c - （ x+y ）max= 2 -1 ，故选 C.10.A解析： 因为 a+b=cd=4，由基本不等式得a+b 2ab ，故 ab 4.又 cd (c d )2 ，故 c+d 4，所以 ab c+d，4当且仅当 a=b=c=d=2时，等号成立 . 故应选 A.11.x|-3x 1解析： 依题意 x2+2x-4 -1 （ x+3）（ x-1 ） 0x -3 ， 1 .12.4解析： 由题意知 A（ 1，1）， m+n-1=0 ， m+n=1， 1+1=（ m+n） =2+ n +m 2+2nm =4.mnmnmn13.
10、解： 设矩形栏目的高为 a cm，宽为 b cm，则 ab=9 000. 广告的高为 a+20，宽为 2b+25，其中 a 0， b0.广告的面积S=（ a+20）（ 2b+25） =2ab+40b+25a+500=18 500+25a+40b 18 500+225 a40b =18 500+21000 ab =24 500. 当且仅当 25a=40b 时等号 成立，此时 b= 5 a，代入式得a=120，从而 b=75，即当 a=120，8b=75 时， S取得最小值24 500.故广告的高为140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小.214. 解： 若 m-2m-3=0 ，则
11、 m=-1 或 m=3.当 m=-1 时，不合题意；当m=3时，符合题意.若 m2-2m-3 0，设 f （x） =（ m2-2m-3 ） x2- （m-3） x-1 ，则由题意，得m22m30,mm22m30,解得 - 1 m3.51综合以上讨论，得-m 3.515. 解： 设投资人分别用 x， y 万元投资甲，乙两个项目，xy10,0.3x0.1y1.8,由题意，得目标函数为z =x+0.5y.x 0,y 0,上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即为可行域 . 作直线 l 0:x+0.5y=0 ，并作平行于直线 l 0 的一组直线 x+0.5y=z ， z R，与可行域相
12、交，其中有一条直线经过可行域上的点 M，此时 z 最大，这里点 M是直线 x+y=10 与直线 0.3x+0.1y=1.8- 6 -的交点 .xy 10,x4,解方程 0.1y 1.8,得此 ， z=4+0.5 6=7（万元） .0.3xy6, 当 x=4， y=6 ， z 取得最大 .答：投 人用 4万元投 甲 目， 6万元投 乙 目，才能使可能的盈利最大.16. （ 1）解： 2x f （ x） x24 一切 数都成立，2 4 f （ 2） 4， f （ 2） =4.（ 2）解： 设 f （ x） =ax2+bx+c （ a 0） . f （ -2 ）=0， f （ 2） =4，4a2bc
13、4,b1,2bc0c2 4a.4a ax 2+bx+c 2x，即 ax2-x+2-4a 0 ，=1-4a （ 2-4a ） 0（ 4a-1 ） 2 0， a= 1 ， c=2-4a=1 ，故 f （x） = x2 +x+1.44（ 3） 明： b1=424=4，nf (n)(n2)(n 2)( n 3) S n=b1+b2+ +bn 44n=4 =.3(n3)17. 解： 矩形温室的左 a m，后 b m， ab=72，蔬菜的种植面 S=（ a-4 ）（b-2 ） =ab-4b-2a+8=80-2（a+2b） 80-42ab2=32（ m） .当且 当 a=2b，即 a=12， b=6 ， Smax=32.答：矩形温室的 分 6 m， 12 m ，蔬菜的种植面 最大，最大种植面 是32 m2.- 7 -